Difference between revisions of "Rubinstein bargaining model/cs"
(Verze 1.0, úvod, autor, model, variace) |
(Verze 1.1, typos, ČJ, odkazy) |
||
| (One intermediate revision by the same user not shown) | |||
| Line 2: | Line 2: | ||
==Úvod== | ==Úvod== | ||
| − | Problém s vyjednáváním se ve společnosti vyskytuje od nepaměti, a právě problém se smlouváním můžeme pozorovat v řadě aspektů života. Mezi nejznámější | + | Problém s [[Agent negotiation/cs|agentním vyjednáváním]] se ve společnosti vyskytuje od nepaměti, a právě problém se smlouváním můžeme pozorovat v řadě aspektů života. Mezi nejznámější příklady patří klasické smlouvání cen na tržištích nebo dohadování konkrétní ceny v zastavárnách. Jedná se tedy o situaci, kdy se dvě strany snaží o dohodnutí, avšak každá má jiné zájmy. Zároveň platí předpoklad, že se obě strany chovají racionálně. Česky lze pojmenovat tento případ jako model střídavých nabídek z anglického Alternating offers. Mohlo by se zdát, že správná odpověď bude ve smyslu spravedlivého rozdělení někde uprostřed, ale díky různým preferencím není úplně vhodné toto považovat za korektní řešení, i když takovýto výsledek není vůbec neobvyklý . Po velmi dlouhou dobu představovalo přesné vyřešení této typové úlohy značný problém a nedařilo se formulovat jasnou odpověď. |
Řešení takového příkladu lze nalézt dvěma způsoby. Prvním je [[axiomatic approach/cs|axiomatický přístup]], který popisoval již John Nash. V něm se vyskytují axiomy s různými vlastnostmi, jenž však skutečně vyhovují racionálnímu výsledku. Postupně upřesněním těchto vlastností dokáže jeden vyloučit ostatní a stává se tak vhodným řešením. Avšak sám Nash uvažoval o rozšíření a novém modelu, který by dokázal myšlenku dále doplnit. | Řešení takového příkladu lze nalézt dvěma způsoby. Prvním je [[axiomatic approach/cs|axiomatický přístup]], který popisoval již John Nash. V něm se vyskytují axiomy s různými vlastnostmi, jenž však skutečně vyhovují racionálnímu výsledku. Postupně upřesněním těchto vlastností dokáže jeden vyloučit ostatní a stává se tak vhodným řešením. Avšak sám Nash uvažoval o rozšíření a novém modelu, který by dokázal myšlenku dále doplnit. | ||
| Line 14: | Line 14: | ||
[[File:ArielRubinstein.jpg|thumb|Ariel Rubinstein]] | [[File:ArielRubinstein.jpg|thumb|Ariel Rubinstein]] | ||
| − | Vysokoškolský profesor Ariel Rubinstein narozený roku 1951 je ekonom specializující se v oblastech ekonomické teorie, omezené racionalitě, teorie her nebo teorie racionální volby. Sám vystudoval The Hebrew University v Jeruzalémě, kterou úspěšně dokončil v roce 1979 se ziskem akademického titulu doktor. Dnes sám stále vyučuje na univerzitě Tel Aviv a univerzitě New York v obou případech na katedře ekonomie. Za svoji práci získal také řadu různých ocenění například Izraelskou cenu v oblasti ekonomie (2002), Nemmersovu cenu (2004) nebo cenu EMET (2010). V poslední řadě je také součástí několika spolků jako | + | Vysokoškolský profesor Ariel Rubinstein narozený roku 1951 je ekonom specializující se v oblastech ekonomické teorie, omezené racionalitě, teorie her nebo teorie racionální volby. Sám vystudoval The Hebrew University v Jeruzalémě, kterou úspěšně dokončil v roce 1979 se ziskem akademického titulu doktor. Dnes sám stále vyučuje na univerzitě Tel Aviv a univerzitě New York, v obou případech na katedře ekonomie. Za svoji práci získal také řadu různých ocenění například Izraelskou cenu v oblasti ekonomie (2002), Nemmersovu cenu (2004) nebo cenu EMET (2010). V poslední řadě je také součástí několika spolků jako jsou The Econometric Society, European Economic Assiciation nebo Game Theory Society. |
<ref> RUBINSTEIN, A. (2022). ''Ariel Rubinstein - vitae'', [online] [vid. 2022-05-26] Dostupné z: https://arielrubinstein.tau.ac.il/vitae.html </ref> | <ref> RUBINSTEIN, A. (2022). ''Ariel Rubinstein - vitae'', [online] [vid. 2022-05-26] Dostupné z: https://arielrubinstein.tau.ac.il/vitae.html </ref> | ||
| − | Jedná se o význačného autora několika knih a řadu recenzovaných článků z | + | Jedná se o význačného autora několika knih a řadu recenzovaných článků převážně z [[Game theory/cs|teorie her]], vyjednávání a dalších souvisejících oblastí ekonomie. Jako jeho největší přínos je určitě považován článek Perfect Equilibrium in a Bargaining Model z roku 1982 otištěn v akademickém žurnálu Econometrica, který právě popisuje problematiku vyjednávání. Na jeho počest je i samotný model pojmenován. |
==Základní představení modelu== | ==Základní představení modelu== | ||
| − | Z počátku je také důležité nejprve definovat situaci, ve které se nacházíme. Pro popsání budeme uvažovat, že vystupují právě dva agenti, kteří se snaží spolu domluvit a rozdělit mezi sebe určitý celek. Pro lepší identifikaci si lze představit tento celek jako koláč s velikostí 1. Tuto analogii použil pro představu i samotný autor modelu Rubinstein. Zároveň mají agenti perfektní informace. Následně tedy první hráč předává nabídku, kterou druhá hráč má možnost přijmout nebo odmítnou. Pokud ji přijímá rozdělují si hráči celek dle navržené nabídky. Pokud ji odmítne, následuje další kolo nabízení. Tentokrát však role obrací. Druhý hráč | + | Z počátku je také důležité nejprve definovat situaci, ve které se nacházíme. Pro popsání budeme uvažovat, že vystupují právě dva agenti, kteří se snaží spolu domluvit a rozdělit mezi sebe určitý celek. Pro lepší identifikaci si lze představit tento celek jako koláč s velikostí 1. Tuto analogii použil pro představu i samotný autor modelu Rubinstein. Zároveň mají agenti perfektní informace. Následně tedy první hráč předává nabídku, kterou druhá hráč má možnost přijmout nebo odmítnou. Pokud ji přijímá rozdělují si hráči celek dle navržené nabídky. Pokud ji odmítne, následuje další kolo nabízení. Tentokrát se však role obrací. Druhý hráč předloží svůj návrh a první má opět možnost ho přijmout či odmítnout. Tímto způsobem probíhá vyjednávání až do doby, než se jeden z hráčů rozhodne nabídku skutečně přijmout. Základ spočívá v tom, že nikdy nevíme, kdy jakýkoliv hráč opravdu přijme nabídku a ukončí tím celou hru. |
<ref name="rubi" /> | <ref name="rubi" /> | ||
| − | [[File:Vyjednávání.png|frame|left|Na uvedeném diagramu lze vidět základní představení vyjednávání, a to první tři kroky. Hráč 1 navrhuje hodnotu x. Hráč 2 může zareagovat dvěma způsoby. Buďto nabídku přijme a v takovém případě si rozdělí celek v poměru x a 1 - x. Pokud odmítne, sám navrhuje jinou hodnotu, tedy v našem případě y. Nyní je tedy | + | [[File:Vyjednávání.png|frame|left|Na uvedeném diagramu lze vidět základní představení vyjednávání dvou agentů, a to první tři kroky. Hráč 1 navrhuje hodnotu x. Hráč 2 může zareagovat dvěma způsoby. Buďto nabídku přijme a v takovém případě si rozdělí celek v poměru x a (1 - x). Pokud odmítne, sám následně navrhuje jinou hodnotu, tedy v našem případě y. Nyní je tedy na řadě opět hráč 1. Musí se rozhodnout zda nový návrh přijme či nikoliv. ]] |
| − | V tento okamžik však není | + | V tento okamžik však není v modelu nikterak zohledněno hledisko času, což nereflektuje reálný svět. Proto je nezbytné přidat toto omezení. Obecně lze konstatovat, že model není nikterak časově omezen, ale ani pro jednu stranu není výhodné čas zbytečně protahovat. |
Pro popis modelu se stanovuje následujících pět podmínek: | Pro popis modelu se stanovuje následujících pět podmínek: | ||
*Celek je chtěný oběma stranami | *Celek je chtěný oběma stranami | ||
| Line 33: | Line 33: | ||
*Větší kompenzace za strávený čas | *Větší kompenzace za strávený čas | ||
| − | Teoreticky je možné, že trvání vyjednávání může probíhat až do nekonečna | + | Teoreticky je možné, že trvání vyjednávání může probíhat až do nekonečna. Z tohoto důvodu nelze najít řešení pomocí zpětné indukce. K vyřešení modelu, ve kterém pracujeme s nekonečným časem, musíme přistupovat jinými dvěma variantami. První možností je pracovat s fixními konstantními náklady, které mají hráči v každém kole. Druhou je pak užití fixního diskontního faktoru. Důležité je ještě zmínit, že i přesto, že se hráči zdají být vyrovnaní a mají stejné možnosti, není to úplná pravda. Jeden z agentů musí vždy začít, což bývá výhodou. Právě v tomto bodě se může naskytnout určitý problém.<ref name="rubi" /> |
| − | Jelikož se také jedná o [[One-shot_games/cs#Extenzivn.C3.AD_hry|extenzivní hru]] bude se uvažovat užití subgame perfect equilibria (SPE) nebo také subgame perfect | + | Jelikož se také jedná o [[One-shot_games/cs#Extenzivn.C3.AD_hry|extenzivní hru]] bude se uvažovat užití subgame perfect equilibria (SPE) nebo také subgame perfect Nashova ekvilibria. To bere v potaz maximalizování užitku hráče v každém kole hry. Jedná se o upřesnění [[Nash_equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] pro potřeby her, ve kterých se vykytuje více kol. |
== Varianta s fixními náklady == | == Varianta s fixními náklady == | ||
| − | Pro první možnost má každý z hráčů určité náklady o velikost ''c''. Ty musí v | + | Pro první možnost má každý z hráčů určité náklady o velikost ''c''. Ty se musí v každém časovém horizontu ''t'' vždy odečíst od nabídky ''x''. Pro ''i'' = {1, 2}, které představuje jednotlivé hráče. Užitek lze pro oba hráče vyjádřit následovně: |
<math>u_i (x_i,t)= x_i-c_i t</math> | <math>u_i (x_i,t)= x_i-c_i t</math> | ||
| Line 45: | Line 45: | ||
=== Jeden z hráčů má nižší náklady === | === Jeden z hráčů má nižší náklady === | ||
Jedná se o stav kdy <math>c_1<c_2</math>. Výrazně v modelu záleží na pořadí hráčů. Pokud začíná právě hráč s nižšími náklady, nabídne pro něj nejvýhodnější nabídku (1, 0). V tomto případě tedy hráč 1, tak vždy získá celý ‘koláč‘. Jelikož druhý hráč by v čase pouze tratil, je nucen tento návrh přijmout. | Jedná se o stav kdy <math>c_1<c_2</math>. Výrazně v modelu záleží na pořadí hráčů. Pokud začíná právě hráč s nižšími náklady, nabídne pro něj nejvýhodnější nabídku (1, 0). V tomto případě tedy hráč 1, tak vždy získá celý ‘koláč‘. Jelikož druhý hráč by v čase pouze tratil, je nucen tento návrh přijmout. | ||
| − | |||
V opačném případě, kdy nejdříve nabízí hráč s vyššími náklady se nabídka lehce změní. První strana může dát takovou nabídku až do velikosti výše nákladů právě druhé strany <math>(c_2,1-c_2)</math>. Protože by náklady musel v dalších kole stejně druhý hráč platit je pro něj výhodné na tuto nabídku kývnout. | V opačném případě, kdy nejdříve nabízí hráč s vyššími náklady se nabídka lehce změní. První strana může dát takovou nabídku až do velikosti výše nákladů právě druhé strany <math>(c_2,1-c_2)</math>. Protože by náklady musel v dalších kole stejně druhý hráč platit je pro něj výhodné na tuto nabídku kývnout. | ||
Jelikož se obě strany chovají racionálně a s dalšími koly pro ně rostou náklady budou vždy navrhovat nejlepší řešení SPE ihned v prvním kole, které druhá strana vždy přijme. To nastává právě z důvodu nevyrovnaných nákladů. Obecně lze říct, že vždy slabší strana získá menší podíl. Ten může být od hodnoty 0 až po výši nákladů, které vytváří protistrana v prvním kole. | Jelikož se obě strany chovají racionálně a s dalšími koly pro ně rostou náklady budou vždy navrhovat nejlepší řešení SPE ihned v prvním kole, které druhá strana vždy přijme. To nastává právě z důvodu nevyrovnaných nákladů. Obecně lze říct, že vždy slabší strana získá menší podíl. Ten může být od hodnoty 0 až po výši nákladů, které vytváří protistrana v prvním kole. | ||
<ref name="bub"> BUBLOŠOVÁ, M. (2015). ''Vyjednávání s utopenými náklady.'' Brno. Diplomová práce. Masarykova univerzita. vedoucí práce: Rostislav Staněk </ref> | <ref name="bub"> BUBLOŠOVÁ, M. (2015). ''Vyjednávání s utopenými náklady.'' Brno. Diplomová práce. Masarykova univerzita. vedoucí práce: Rostislav Staněk </ref> | ||
| + | |||
=== Oba hráči mají stejné náklady === | === Oba hráči mají stejné náklady === | ||
Jedná se o stav kdy <math>c_1=c_2=c</math>. Základní pravidlo podle, které ho se hráči řídí c ≤ x ≤ 1. To znamená, že náklady jsou menší nebo alespoň stejné jako nabídka, která nesmí být samozřejmě větší náš celek. Také se ztrácí význam pořadí, ve kterém hráči předkládají druhé straně své nabídky. Nakonec se dá se přepokládat, že v takových případech by mělo dojít k rovnovážnému rozdělení. | Jedná se o stav kdy <math>c_1=c_2=c</math>. Základní pravidlo podle, které ho se hráči řídí c ≤ x ≤ 1. To znamená, že náklady jsou menší nebo alespoň stejné jako nabídka, která nesmí být samozřejmě větší náš celek. Také se ztrácí význam pořadí, ve kterém hráči předkládají druhé straně své nabídky. Nakonec se dá se přepokládat, že v takových případech by mělo dojít k rovnovážnému rozdělení. | ||
| − | + | Dochází vlastně k více SPE než pouze k jednomu. Ty nastávají kdykoliv je nabídka (x, 1 – x) a zároveň platí úvodní pravidlo c ≤ x ≤ 1. Je ovšem nutné zmínit, že v oproti stavu, kdy jedna strana má vyšší náklady než druhá, nemusí dojít ke shodě ihned v prvním kole našeho modelu.<ref name="bub" /> | |
== Varianta s diskontním faktorem == | == Varianta s diskontním faktorem == | ||
| − | Avšak ve | + | Avšak ve většině reálných případů je lepší pro zjištění ideálního ekvilibria použít právě variantu s fixním diskontním faktorem <math>\delta</math>. Tato proměnná představuje určitou srážku ze vzniklého potenciálního výnosu. Stejně jako u předchozího případu vyjádříme finální užitek, a to tímto způsobem: |
<math> u_i (x_i,t)=x_i* \delta _i^t </math> | <math> u_i (x_i,t)=x_i* \delta _i^t </math> | ||
=== Matematický důkaz výsledku === | === Matematický důkaz výsledku === | ||
| − | Pro zjištění, jaké budou nabízené hodnoty je nutné použít důkaz, se kterým přišel právě Ariel Rubinstein. Ovšem nepoužijeme přesně ten, ale jeho zjednodušenou verzi, která přichází se stejným výsledkem. | + | Pro zjištění, jaké budou nabízené hodnoty je nutné použít důkaz, se kterým přišel právě Ariel Rubinstein. Ovšem nepoužijeme přesně ten původní, ale jeho zjednodušenou verzi, která přichází se stejným výsledkem. |
| − | Předpokládáme, že hráč jedna je také ten, který předkládá svou nabídku jako první. K ověření zprvu definujeme nové konstanty <math> \bar{v}_1 </math> představuje nejvyšší možný zisk pro prvního hráče a <math>\underline{v}_1 </math> naopak nejnižší možný zisk. Z takovéto pozice hráče víme, jaké nabídky bychom teoreticky v následujícím kole přijali. Určitě bychom přijali takovou nabídku, která je vyšší nebo rovna jako <math> \bar{v}_1 \delta_1 </math> . Současně bychom odmítli takovou, která by byla nižší než <math> \underline{v}_1 \delta_1 </math>. Z toho lze odvodit, co může eventuálně získat hráč 2. Při započítání diskontního faktoru hráče 2 může tak Nejvíce dokáže zajistit <math> \delta _2* (1 - \bar{v}_1 \delta _1) </math> a nejméně pak <math>\delta _2*(1 - \underline{v}_1 \delta _1). </math> Díky této znalosti zjistíme, jakých hodnot nabývá <math> \bar{v}_1 </math> a <math>\underline{v}_1 </math> . Ty jsou | + | Předpokládáme, že hráč jedna je také ten, který předkládá svou nabídku jako první. K ověření zprvu definujeme nové konstanty <math> \bar{v}_1 </math> představuje nejvyšší možný zisk pro prvního hráče a <math>\underline{v}_1 </math> naopak nejnižší možný zisk. Z takovéto pozice hráče víme, jaké nabídky bychom teoreticky v následujícím kole přijali. Určitě bychom přijali takovou nabídku, která je vyšší nebo rovna jako <math> \bar{v}_1 \delta_1 </math> . Současně bychom odmítli takovou, která by byla nižší než <math> \underline{v}_1 \delta_1 </math>. Z toho lze odvodit, co může eventuálně získat hráč 2. Při započítání diskontního faktoru hráče 2 může tak Nejvíce dokáže zajistit <math> \delta _2* (1 - \bar{v}_1 \delta _1) </math> a nejméně pak <math>\delta _2*(1 - \underline{v}_1 \delta _1). </math> Díky této znalosti zjistíme, jakých hodnot nabývá <math> \bar{v}_1 </math> a <math>\underline{v}_1 </math> . Ty jsou následující: |
{| | {| | ||
| Line 81: | Line 81: | ||
|<math> \bar{v}_1 \leq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) }</math> | |<math> \bar{v}_1 \leq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) }</math> | ||
|  | |  | ||
| − | |<math>\underline{v}_1 \ | + | |<math>\underline{v}_1 \geq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } </math> |
|} | |} | ||
| − | Nakonec je můžeme sloučit do jedné | + | Nakonec je můžeme sloučit do jedné. Z podstaty věci je navíc zřejmé, že možné maximum <math>\bar{v}_1</math> musí být vyšší nebo stejné jak minimum <math>\underline{v}_1</math>. |
<math> \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } \geq \bar{v}_1 \geq \underline{v}_1 \geq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } </math> | <math> \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } \geq \bar{v}_1 \geq \underline{v}_1 \geq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } </math> | ||
| − | Z této finální rovnice můžeme vidět, že první a poslední člen je totožný a tím pádem <math>\bar{v}_1</math> a <math>\underline{v}_1</math> musí být taky stejné. Logickým odvozením se musí všechny členy rovnice rovnat | + | Z této finální rovnice můžeme vidět, že první a poslední člen je totožný a tím pádem <math>\bar{v}_1</math> a <math>\underline{v}_1</math> musí být taky stejné. Logickým odvozením se musí všechny členy rovnice rovnat. |
<math>\bar{v}_1 = \underline{v}_1 = \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } </math> | <math>\bar{v}_1 = \underline{v}_1 = \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } </math> | ||
| − | Z celého důkazu nakonec plyne, | + | Z celého důkazu nakonec plyne, jakou hodnotu musíme nabídnout. Racionální hráč 1 hned v prvním kole předloží nabídku (x, 1 - x), kde bude x = <math> \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) }</math>. Tu také hráč 2 následně přijímá. |
<ref name="levin"> LEVIN, J. (2002). ''Bargaining and Repeated Games'' [online] únor, 2002 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20203/RepeatedGames.pdf </ref> | <ref name="levin"> LEVIN, J. (2002). ''Bargaining and Repeated Games'' [online] únor, 2002 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20203/RepeatedGames.pdf </ref> | ||
<ref> OZYURT, S. (2021). ''(AGT3E8) [Game Theory] Solving Rubinstein's Infinite Horizon Alternating Offer Bargaining Game'' [online] 30. leden 2021 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://www.youtube.com/watch?v=4T8tOI034QA </ref> | <ref> OZYURT, S. (2021). ''(AGT3E8) [Game Theory] Solving Rubinstein's Infinite Horizon Alternating Offer Bargaining Game'' [online] 30. leden 2021 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://www.youtube.com/watch?v=4T8tOI034QA </ref> | ||
== Variace modelu == | == Variace modelu == | ||
| − | Existuje poměrně značné množství dalších odvozených případů, které jsou odvozeny od základního Rubinsteinova vyjednávacího modelu. Jsou uvedeny jen takové, které přistupují k řešení příkladu pouze s plnými informacemi a které určitým způsobem modifikují prostředí vyjednávání. Jsou uvedeny jen povrchově pro představu, jakým způsobem takové vyjednávání funguje. Samozřejmě se objevují i situace, ve kterým nejsou známi všechny informace. Případem takových her může být War of Attrition nebo užití Bayesian Nash Equilibrium. | + | Existuje poměrně značné množství dalších odvozených případů, které jsou odvozeny od základního Rubinsteinova vyjednávacího modelu. Jsou uvedeny jen takové, které přistupují k řešení příkladu pouze s plnými informacemi a které určitým způsobem modifikují prostředí vyjednávání. Jsou uvedeny jen povrchově pro představu, jakým způsobem takové vyjednávání funguje. Samozřejmě se objevují i situace, ve kterým nejsou známi všechny informace. Případem takových her může být [[War_of_Attrition/cs|War of Attrition]] nebo užití strategie Bayesian Nash Equilibrium. |
=== Varianta bez střídání nabídek === | === Varianta bez střídání nabídek === | ||
| Line 111: | Line 111: | ||
=== Varianta s možností skončit vyjednávání === | === Varianta s možností skončit vyjednávání === | ||
| − | Hráči mají v této variantě možnost kdykoliv odejít ze hry a tím ukončit celé vyjednávání. Vytváří se tedy | + | Hráči mají v této variantě možnost kdykoliv odejít ze hry a tím ukončit celé vyjednávání. Vytváří se tedy třetí strategie, přijmout nabídku, odmítnou a navrhnout vlastní, a právě nová vystoupit z vyjednávání. Je taky důležité, jak významnou hodnotu přikláníme právě k možnosti vystoupení. Jestliže, je zanedbatelná a možný zisk výrazně převažuje, ztrácí odstoupení svůj smysl. Pokud však nějaký význam má, nelze jej úplně zanedbávat. Sám Ariel Rubinstein ve své publikaci Bargaining a Marktes popisuje tento průběh z pozice druhého hráče. Pro správný výsledek je velmi důležité, v jaké části vyjednávání má možnost odstoupit. |
V případech, kdy hráč může odstoupit poté, co obdrží nabídku závisí, jaký vztah mezi diskontním faktorem a faktorem odstoupení. Silnější hodnota má větší efekt, který se poté promítá do rovnice cílové vyjednávací hodnoty. Pokud jsou si rovny, končí vyjednávání hned v prvním kole s nabídkou (1–b, b), kde b představuje hodnotu odstoupení. V druhém případě, kdy má možnost odstoupit ve chvíli, kdy první hráč odmítá jeho nabídku je finální matematický vztah mnohem složitější, avšak stále záleží, který z daných proměnných má větší význam. | V případech, kdy hráč může odstoupit poté, co obdrží nabídku závisí, jaký vztah mezi diskontním faktorem a faktorem odstoupení. Silnější hodnota má větší efekt, který se poté promítá do rovnice cílové vyjednávací hodnoty. Pokud jsou si rovny, končí vyjednávání hned v prvním kole s nabídkou (1–b, b), kde b představuje hodnotu odstoupení. V druhém případě, kdy má možnost odstoupit ve chvíli, kdy první hráč odmítá jeho nabídku je finální matematický vztah mnohem složitější, avšak stále záleží, který z daných proměnných má větší význam. | ||
Latest revision as of 09:23, 28 May 2022
Contents
Úvod
Problém s agentním vyjednáváním se ve společnosti vyskytuje od nepaměti, a právě problém se smlouváním můžeme pozorovat v řadě aspektů života. Mezi nejznámější příklady patří klasické smlouvání cen na tržištích nebo dohadování konkrétní ceny v zastavárnách. Jedná se tedy o situaci, kdy se dvě strany snaží o dohodnutí, avšak každá má jiné zájmy. Zároveň platí předpoklad, že se obě strany chovají racionálně. Česky lze pojmenovat tento případ jako model střídavých nabídek z anglického Alternating offers. Mohlo by se zdát, že správná odpověď bude ve smyslu spravedlivého rozdělení někde uprostřed, ale díky různým preferencím není úplně vhodné toto považovat za korektní řešení, i když takovýto výsledek není vůbec neobvyklý . Po velmi dlouhou dobu představovalo přesné vyřešení této typové úlohy značný problém a nedařilo se formulovat jasnou odpověď.
Řešení takového příkladu lze nalézt dvěma způsoby. Prvním je axiomatický přístup, který popisoval již John Nash. V něm se vyskytují axiomy s různými vlastnostmi, jenž však skutečně vyhovují racionálnímu výsledku. Postupně upřesněním těchto vlastností dokáže jeden vyloučit ostatní a stává se tak vhodným řešením. Avšak sám Nash uvažoval o rozšíření a novém modelu, který by dokázal myšlenku dále doplnit. [1]
Druhý přístup je označován jako strategický a je vhodným komplementárním doplněním první možnosti řešení. Ten popisuje tento problém jako nekooperativní hru, kdy se právě za racionálních předpokladů dokáže nalézt ekvilibrium. Výsledek a jeho důkaz popsal izraelský profesor Ariel Rubinstein, podle kterého je také tento model pojmenován. Jedná se o jeden z velmi důležitých modelů z hlediska agentního vyjednávání a celkově teorie her. [2]
Ariel Rubinstein
Vysokoškolský profesor Ariel Rubinstein narozený roku 1951 je ekonom specializující se v oblastech ekonomické teorie, omezené racionalitě, teorie her nebo teorie racionální volby. Sám vystudoval The Hebrew University v Jeruzalémě, kterou úspěšně dokončil v roce 1979 se ziskem akademického titulu doktor. Dnes sám stále vyučuje na univerzitě Tel Aviv a univerzitě New York, v obou případech na katedře ekonomie. Za svoji práci získal také řadu různých ocenění například Izraelskou cenu v oblasti ekonomie (2002), Nemmersovu cenu (2004) nebo cenu EMET (2010). V poslední řadě je také součástí několika spolků jako jsou The Econometric Society, European Economic Assiciation nebo Game Theory Society. [3]
Jedná se o význačného autora několika knih a řadu recenzovaných článků převážně z teorie her, vyjednávání a dalších souvisejících oblastí ekonomie. Jako jeho největší přínos je určitě považován článek Perfect Equilibrium in a Bargaining Model z roku 1982 otištěn v akademickém žurnálu Econometrica, který právě popisuje problematiku vyjednávání. Na jeho počest je i samotný model pojmenován.
Základní představení modelu
Z počátku je také důležité nejprve definovat situaci, ve které se nacházíme. Pro popsání budeme uvažovat, že vystupují právě dva agenti, kteří se snaží spolu domluvit a rozdělit mezi sebe určitý celek. Pro lepší identifikaci si lze představit tento celek jako koláč s velikostí 1. Tuto analogii použil pro představu i samotný autor modelu Rubinstein. Zároveň mají agenti perfektní informace. Následně tedy první hráč předává nabídku, kterou druhá hráč má možnost přijmout nebo odmítnou. Pokud ji přijímá rozdělují si hráči celek dle navržené nabídky. Pokud ji odmítne, následuje další kolo nabízení. Tentokrát se však role obrací. Druhý hráč předloží svůj návrh a první má opět možnost ho přijmout či odmítnout. Tímto způsobem probíhá vyjednávání až do doby, než se jeden z hráčů rozhodne nabídku skutečně přijmout. Základ spočívá v tom, že nikdy nevíme, kdy jakýkoliv hráč opravdu přijme nabídku a ukončí tím celou hru. [2]
V tento okamžik však není v modelu nikterak zohledněno hledisko času, což nereflektuje reálný svět. Proto je nezbytné přidat toto omezení. Obecně lze konstatovat, že model není nikterak časově omezen, ale ani pro jednu stranu není výhodné čas zbytečně protahovat. Pro popis modelu se stanovuje následujících pět podmínek:
- Celek je chtěný oběma stranami
- Čas je cenný
- Spojitá preference při vyjednávání
- Preference jsou neměnné
- Větší kompenzace za strávený čas
Teoreticky je možné, že trvání vyjednávání může probíhat až do nekonečna. Z tohoto důvodu nelze najít řešení pomocí zpětné indukce. K vyřešení modelu, ve kterém pracujeme s nekonečným časem, musíme přistupovat jinými dvěma variantami. První možností je pracovat s fixními konstantními náklady, které mají hráči v každém kole. Druhou je pak užití fixního diskontního faktoru. Důležité je ještě zmínit, že i přesto, že se hráči zdají být vyrovnaní a mají stejné možnosti, není to úplná pravda. Jeden z agentů musí vždy začít, což bývá výhodou. Právě v tomto bodě se může naskytnout určitý problém.[2]
Jelikož se také jedná o extenzivní hru bude se uvažovat užití subgame perfect equilibria (SPE) nebo také subgame perfect Nashova ekvilibria. To bere v potaz maximalizování užitku hráče v každém kole hry. Jedná se o upřesnění Nashovy rovnováhy pro potřeby her, ve kterých se vykytuje více kol.
Varianta s fixními náklady
Pro první možnost má každý z hráčů určité náklady o velikost c. Ty se musí v každém časovém horizontu t vždy odečíst od nabídky x. Pro i = {1, 2}, které představuje jednotlivé hráče. Užitek lze pro oba hráče vyjádřit následovně: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i (x_i,t)= x_i-c_i t}
Pro zjištění zmíněného SPE rozdělíme variantu na dvě situace, které mohou nastat.
Jeden z hráčů má nižší náklady
Jedná se o stav kdy Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1<c_2} . Výrazně v modelu záleží na pořadí hráčů. Pokud začíná právě hráč s nižšími náklady, nabídne pro něj nejvýhodnější nabídku (1, 0). V tomto případě tedy hráč 1, tak vždy získá celý ‘koláč‘. Jelikož druhý hráč by v čase pouze tratil, je nucen tento návrh přijmout. V opačném případě, kdy nejdříve nabízí hráč s vyššími náklady se nabídka lehce změní. První strana může dát takovou nabídku až do velikosti výše nákladů právě druhé strany Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (c_2,1-c_2)} . Protože by náklady musel v dalších kole stejně druhý hráč platit je pro něj výhodné na tuto nabídku kývnout. Jelikož se obě strany chovají racionálně a s dalšími koly pro ně rostou náklady budou vždy navrhovat nejlepší řešení SPE ihned v prvním kole, které druhá strana vždy přijme. To nastává právě z důvodu nevyrovnaných nákladů. Obecně lze říct, že vždy slabší strana získá menší podíl. Ten může být od hodnoty 0 až po výši nákladů, které vytváří protistrana v prvním kole. [4]
Oba hráči mají stejné náklady
Jedná se o stav kdy Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1=c_2=c} . Základní pravidlo podle, které ho se hráči řídí c ≤ x ≤ 1. To znamená, že náklady jsou menší nebo alespoň stejné jako nabídka, která nesmí být samozřejmě větší náš celek. Také se ztrácí význam pořadí, ve kterém hráči předkládají druhé straně své nabídky. Nakonec se dá se přepokládat, že v takových případech by mělo dojít k rovnovážnému rozdělení. Dochází vlastně k více SPE než pouze k jednomu. Ty nastávají kdykoliv je nabídka (x, 1 – x) a zároveň platí úvodní pravidlo c ≤ x ≤ 1. Je ovšem nutné zmínit, že v oproti stavu, kdy jedna strana má vyšší náklady než druhá, nemusí dojít ke shodě ihned v prvním kole našeho modelu.[4]
Varianta s diskontním faktorem
Avšak ve většině reálných případů je lepší pro zjištění ideálního ekvilibria použít právě variantu s fixním diskontním faktorem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} . Tato proměnná představuje určitou srážku ze vzniklého potenciálního výnosu. Stejně jako u předchozího případu vyjádříme finální užitek, a to tímto způsobem: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i (x_i,t)=x_i* \delta _i^t }
Matematický důkaz výsledku
Pro zjištění, jaké budou nabízené hodnoty je nutné použít důkaz, se kterým přišel právě Ariel Rubinstein. Ovšem nepoužijeme přesně ten původní, ale jeho zjednodušenou verzi, která přichází se stejným výsledkem.
Předpokládáme, že hráč jedna je také ten, který předkládá svou nabídku jako první. K ověření zprvu definujeme nové konstanty Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 } představuje nejvyšší možný zisk pro prvního hráče a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 } naopak nejnižší možný zisk. Z takovéto pozice hráče víme, jaké nabídky bychom teoreticky v následujícím kole přijali. Určitě bychom přijali takovou nabídku, která je vyšší nebo rovna jako Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 \delta_1 } . Současně bychom odmítli takovou, která by byla nižší než Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 \delta_1 } . Z toho lze odvodit, co může eventuálně získat hráč 2. Při započítání diskontního faktoru hráče 2 může tak Nejvíce dokáže zajistit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta _2* (1 - \bar{v}_1 \delta _1) } a nejméně pak Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta _2*(1 - \underline{v}_1 \delta _1). } Díky této znalosti zjistíme, jakých hodnot nabývá Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 } a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 } . Ty jsou následující:
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 \leq 1- \delta _2*(1 - \bar{v}_1 \delta _1) } | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 \geq 1- \delta _2*(1 - \underline{v}_1 \delta _1)} |
Vzniklé rovnice pro naše definované zisky dále upravíme:
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 \leq 1- \delta _2+ \bar{v}_1 \delta _1 \delta _2 } | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 \geq 1- \delta _2+ \underline{v}_1 \delta _1 \delta _2 } | |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 (1- \delta _1 \delta _2 ) \leq 1- \delta _2 } | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 (1- \delta _1 \delta _2 ) \geq 1- \delta _2 } | |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 \leq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) }} | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1 \geq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } } |
Nakonec je můžeme sloučit do jedné. Z podstaty věci je navíc zřejmé, že možné maximum Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1} musí být vyšší nebo stejné jak minimum Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1} .
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } \geq \bar{v}_1 \geq \underline{v}_1 \geq \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } }
Z této finální rovnice můžeme vidět, že první a poslední člen je totožný a tím pádem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underline{v}_1} musí být taky stejné. Logickým odvozením se musí všechny členy rovnice rovnat.
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{v}_1 = \underline{v}_1 = \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) } }
Z celého důkazu nakonec plyne, jakou hodnotu musíme nabídnout. Racionální hráč 1 hned v prvním kole předloží nabídku (x, 1 - x), kde bude x = Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(1- \delta _2)}{(1- \delta _1 \delta _2 ) }} . Tu také hráč 2 následně přijímá. [5] [6]
Variace modelu
Existuje poměrně značné množství dalších odvozených případů, které jsou odvozeny od základního Rubinsteinova vyjednávacího modelu. Jsou uvedeny jen takové, které přistupují k řešení příkladu pouze s plnými informacemi a které určitým způsobem modifikují prostředí vyjednávání. Jsou uvedeny jen povrchově pro představu, jakým způsobem takové vyjednávání funguje. Samozřejmě se objevují i situace, ve kterým nejsou známi všechny informace. Případem takových her může být War of Attrition nebo užití strategie Bayesian Nash Equilibrium.
Varianta bez střídání nabídek
Tento model na první pohled nedává v celkovém kontextu moc velký význam, avšak dokazuje důležitost střídání tahů jednotlivých hráčů. V případě, kdy s nabídkami přichází pouze jedna strana je eliminována šance druhé navrhovat své nabídky. První hráč tak získává absolutní převahu a vždy dosáhne své nejlepší možnosti. V příkladu s koláčem může hráč, který je navrhovatel předkládat klidně nabídku (1, 0). Jelikož druhý hráč nemá možnost, jak představit své nabídky bude nucen vždy přijmout právě hned první nabízenou možnost. To nastává z důvodu, že při použití nákladů by postupně vykazoval pouze ztrátu. [7]
Varianta s končeným časem
Jedná se o případ, ve kterém eliminuje jeden ze základních předpokladům Rubinsteinova modelu vyjednávání. Nekonečný časový horizont je najednou nějak omezen, což vlastně zjednodušuje určení SPE. Díky tomuto můžeme zpětnou indukci jako i řady jiných her. Často je tato variantu používaná jako první případ, který dokáže rychle a srozumitelně vysvětlit problematiku střídavého smlouvání. V tomto případě zjistíme, který hráč podá nabídku jako poslední. Ten může dát klidně takovou, ve které získá celý koláč a protistrana takovou nabídku musí přijmout, jelikož už nebude vyjednávání dále pokračovat. Jediná možnost je tedy nabídnout takovou hodnotu v prvním kole do výše diskontního faktoru druhého, aby získal alespoň nějakou část.
Pokud bychom určili čas t = 2 víme, že hráč 2 bude dávat poslední nabídku. To znamená, že pokud by se dostala řada na hráče 2 ten vždy navrhne rozdělení (0, 1) to znamená, že by měl celý koláč pro sebe. Musíme však vzít v potaz diskontní faktor. Pro hráče 1 nezbývá nic jiného než navrhnoutFailed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\delta_2,1- \delta_2)} , aby měl alespoň nějaký zisk. [5]
Varianta s možností skončit vyjednávání
Hráči mají v této variantě možnost kdykoliv odejít ze hry a tím ukončit celé vyjednávání. Vytváří se tedy třetí strategie, přijmout nabídku, odmítnou a navrhnout vlastní, a právě nová vystoupit z vyjednávání. Je taky důležité, jak významnou hodnotu přikláníme právě k možnosti vystoupení. Jestliže, je zanedbatelná a možný zisk výrazně převažuje, ztrácí odstoupení svůj smysl. Pokud však nějaký význam má, nelze jej úplně zanedbávat. Sám Ariel Rubinstein ve své publikaci Bargaining a Marktes popisuje tento průběh z pozice druhého hráče. Pro správný výsledek je velmi důležité, v jaké části vyjednávání má možnost odstoupit.
V případech, kdy hráč může odstoupit poté, co obdrží nabídku závisí, jaký vztah mezi diskontním faktorem a faktorem odstoupení. Silnější hodnota má větší efekt, který se poté promítá do rovnice cílové vyjednávací hodnoty. Pokud jsou si rovny, končí vyjednávání hned v prvním kole s nabídkou (1–b, b), kde b představuje hodnotu odstoupení. V druhém případě, kdy má možnost odstoupit ve chvíli, kdy první hráč odmítá jeho nabídku je finální matematický vztah mnohem složitější, avšak stále záleží, který z daných proměnných má větší význam. [8]
Varianta se třemi hráči
V situaci, kdy se do vyjednávání přidává třetí hráč uvažujeme stále za platné všechny základní podmínky. Změna nastává v především v postupu, jakým hráči mezi sebou komunikují. První hráč předkládá takovou nabídku (x, y, z), která splňuje x + y + z = 1. Poté má druhý hráč možnost přijmout nebo odmítnou a následně má stejnou příležitost i třetí hráč. Pro přijmutí návrhu musí souhlasit oba hráči. Pokud se tak nestane posouvá se kolo a novou nabídku předkládá druhý hráč a opět musí souhlasit zbylí dva. Takto smlouvání probíhá až do doby, než se všichni dohodnou. [8]
References
- ↑ NASH, J. (1953). Two-Person Cooperative Games. Econometrica, 21(1), 128–140. https://doi.org/10.2307/1906951
- ↑ 2.0 2.1 2.2 RUBINSTEIN, A. (1982). Perfect Equilibrium in a Bargaining Model. Econometrica, 50(1), 97–109. https://doi.org/10.2307/1912531
- ↑ RUBINSTEIN, A. (2022). Ariel Rubinstein - vitae, [online] [vid. 2022-05-26] Dostupné z: https://arielrubinstein.tau.ac.il/vitae.html
- ↑ 4.0 4.1 BUBLOŠOVÁ, M. (2015). Vyjednávání s utopenými náklady. Brno. Diplomová práce. Masarykova univerzita. vedoucí práce: Rostislav Staněk
- ↑ 5.0 5.1 LEVIN, J. (2002). Bargaining and Repeated Games [online] únor, 2002 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20203/RepeatedGames.pdf
- ↑ OZYURT, S. (2021). (AGT3E8) [Game Theory] Solving Rubinstein's Infinite Horizon Alternating Offer Bargaining Game [online] 30. leden 2021 [cit. 2022-05-27] Dostupné z: https://www.youtube.com/watch?v=4T8tOI034QA
- ↑ OSBORNE, Martin J. a Ariel RUBINSTEIN. (1994) Course in game theory. Cambridge: MIT Press. ISBN isbn0-262-65040-1.
- ↑ 8.0 8.1 OSBORNE, Martin J. a Ariel RUBINSTEIN. (1990). Bargaining and Markets. San Diego, California. Academic Press, Inc ISBN 0-12-528632-5
