Jednorázové hry

Úvod

Pod pojmem jednorázové (jednokolové) hry se v Teorii her rozumí hrám, ve kterých hráči odehrají pouze jednu hru, na jejímž konci si rozdělí výplaty a zkušenosti nabyté během hry už dále neuplatňují. Žádná další kola nenásledují a tudíž podle toho i hráč volí svojí strategii. Naproti tomu ve vícekolových hrách se hraje hra vícekrát za sebou a tak hráči před každým kolem mohou měnit strategie.

Je potřeba také zmínit, že v případě, že hráči hrají poslední kolo vícekolové hry, chovají se, jako kdyby hráli jednorázovou hru. Z toho vyplývá, že volba strategie se mění na základě počtu kol, která mají hráči před sebou.

Dobrým příkladem jednorázové hry je konkurzní řízení při likvidaci firmy, kdy všichni zúčastnění se snaží ze zbankrotované firmy dostat co nejvíce peněz. Ovšem v případě, že firma funguje zdravě, hrají akcionáři vícekolovou hru, jejich strategie bude dlouhodobá a nebudou se snažit z firmy vytáhnout v co nejkratším čase co nejvíce peněz.

Jednokolové hry

Definice jednokolových her je i základem definic jednotlivých kol, podher u her vícekolových. Definice těchto podher budou předmětem následujícíh podkapitol. Pro zjednoduššení se budeme zabývat pouze hrami 2 × 2, dvě strategie. Většina definic bude tedy zjednoduššena právě pouze pro tento typ hry.

Strategické hry 2 × 2

Definice hry 2 × 2 v obecném tvaru jsou následující:

Obecná definice hry 2 × 2

Uspořádaná pětice znaků Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2,\{C,D\},\{C,D\},u,v)} je hrou v obecném tvaru, kde počet hráčů této hry jsou 2, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{C,D\}} je množinou strategií, A je množina strategií hráče prvního a množina B je strategií druhého hráče a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = u(a,b)} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = v(a,b)} jsou výplatní funkcí hráčů. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \isin A} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \isin B} . Výplatní matice je definována následovně:

Takovýchto her je mnoho, ale značení v definici vychází z nejznámnější z nich a to z vězňova dilematu. Což je hra, kdy hráči můžou buďto spolupracovat (proto C jako cooperate) nebo se zradit jinými slovy bojovat (proto D jako defection). V tomto případě platí nerovnost Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{DC}>u_{DD}>u_{CC}>u_{CD}} pro prvního hráče a velmi obodbná i pro hráče druhého.

Podobným příkladem může být souboj pohlaví, což je hra ve které oba hráči, kteří chtějí trávit čas společně, ale každý má jinou představu o programu společně stráveného času. Jeden z hráčů chce jít například do kina (strategie C jako cinema) a druhý chce jít na romantickou večeři s (strategie D jako dinner). V tom případě pro prvního hráče platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{DD}>u_{CC}>u_{DC} \geq u_{CD}} a pro druhého Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{CC}>v_{DD}>v_{CD} \geq v_{DC}} .

Definice Nashovy rovnováhy

Strategie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^*,b^*} je Nashovou rovnováho v případě, že pro všechny ostatní strategie pro oba hráče platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(a^*,b^*) \geq u(a,b^*)} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(a^*,b^*) \geq u(a^*,b)} pro všechny Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \ne a^*} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \ne b^*} . Jsou to dvojice strategií, kdy se ani jednomu z hráčů nevyplatí vyjít vstříc druhému hráči. Hledání těchto strategií je také předmětem opakovaných her. V klasickém případě vězňova dilematu se ukazuje, že Nashova rovnováha může být nevýhodná. V této hře je totiž rovnováhou situace, kdy se hráči udávají, ale oba by si polepšili, kdyby se neudali.

Smíšené strategie

Tuto strategii budeme vysvětlovat na hře s názvem souboj pohlaví. Její matice vypadá následovně:

Použijeme totožný případ, jaký jsme zmiňovali výše a to, že oba hráči, chtějí trávit čas společně, ale každý má jinou představu o programu společně stráveného času. Jeden z hráčů chce jít do kina (strategie C jako cinema) a druhý chce jít na romantickou večeři s (strategie D jako dinner). Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} jsou tedy čísla v intervalu Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,1)} a v případě, že zůstanou doma mají oba nulovou výplatu. V klasických strategiích v této hře existují dvě Nashovy rovnováhy. Jedna z nich je, že půjdu na večeři (DD) a druhá, že půjdou do kina (CC).

Definice smíšené strategie a očekávané výplaty

Smíšená strategie je pravděpodobnostní rozdělení nad množinou čistých strategií Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} pro prvního a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} pro druhého hráče. A je pravděpodobnost Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(D)=p} , že hráč bude hrát strategii Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(D)=q} jakožto pravděpodobnost, že strategii D bude hrát hráč druhý. V tomto případě je poté Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(p,q)=pqu(D,D)+(1-p)(1-q)u(C,C)+p(1-q)u(D,C)+(1-p)qu(C,D)} a pro druhého hráče obdobně.

V případě, že hráči hrají strategie popsané výše, je Nashova rovnováha definována následovně:

Definice Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích

Dvě spíšené strategie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p^*,q^*} je Nashovou rovnováhou v případě, pokud pro všechny ostatní smíšené strategie pro oba hráče platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(p^*,q^*) \geq u(p,q^*)} a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(p^*,q^*) \geq u(p^*,q)} pro všechny Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\ne p^* a q\ne q^*} .

Extenzivní hry

Mezistupněm mezi strategickými a opakovanými hrami jsou hry extenzivní. Přesněji řešeno jsou opakované hry speciálním případem extenzivních her. Extenzivní hry jsou hry, které se hrají na kola. Příkladem můžou být třeba šachy, ve kterých v každém kole hraje pouze jeden z hráčů.

Definice extenzivní hry

Extenzivní hrou rozumíme uspořádnou čtveřici Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N,H,P,u_i)} , kde je množina hráčů je Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} .Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} je množina posloupností, které splňují tři podmínky a to, že Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon \isin H} , kde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} je prázdná množina. Další podmínkou je, že Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a^k)_{k=1,...,K} \epsilon H \Rightarrow \forall L<K : (a^k)_{k=1,...,L} \epsilon H } a v případě, že nekonečná řada Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a^k)^\infty_{k=1}} skládá z řad takových, že Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a^k)_{k=1,...,L} \epsilon H} pro všechna Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} potom i Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a^k)^\infty_{k=1} \epsilon H} . Takovou množinu nazýváme množinou historíí a její prvny historie, budeme značit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} .Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} bude potom nejvyšší Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} pro něž platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \epsilon H} . Toto číslo budeme nazývat počtem kol. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(h)} je funkce hrajících hráčů, kde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} je již známá historie(v případě, že jsme v kole Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} , potom platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h=(a^k)_{k=1,...,L-1}} . Tedy obor hodnot Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_P(h) = \{N,k\}} , kde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} značí konec hry. Historie, pro které platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(h)=k} budeme nazývat konečné, jejich množinu budeme značit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} a jednotlivé strategie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z,z \epsilon Z} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i(z),i \epsilon N} je výplatní funkce hráče Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} na množině konečných historií. Podle této definice máme hru, která se hraje v Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} kolech a v každém kole hraje konkrétní počet hráčů. V každém dalším kole hráčihrají podle toho, co se už odehrálo. Příkladem může být vstup konkurence na monopolní trh.

Definice profilu strategií

Profilem stragií v extenzivní hře Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N,H,P,u_i)} hráče Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \epsilon N} je funkce Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i(h)} . Definiční obor této funkce je Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{A_i}(h)=\{h \epsilon H:P(h)=i\}} . Výstup hry se potom rozumí funkce Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O(A_1,...,A_n) = z,z \epsilon Z} .

Definice Nashovy rovnováhy v sekvenční hře

Nashhovou rovnováhou v sekvenční hře Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N,H,P,u_i)} se rozumí profil strategií Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^*} takový, že pro každého hráče Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \epsilon N} platí Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(O_i(A^*))\geq u(O(A^*_i,A_i))} , kde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^*_i,A_i} znamená, že všichni kromě i-tého hráče hrajou danou strategii.