Kooperativní hry

Kooperativní hra, spadající do oblasti teorie her označuje takovou hru, ve které mají hráči možnost vzájemné kooperace, tedy spolupráce. Toto rozšíření, respektive možnost jim umožnňuje volit svoji strategii na základně ostatních. Tím je myšleno, před volbou své strategie vyjednat a uzavřít úmluvu s jinými hráči, jakou strategii zahrají oni. Cílem tvorby těchto úmluv (dohod) je zvýšení zisku, nebo výhry kombinací strategií v dané hře. Při uzavření úmluvy je povinností hráče dodržet dané podmínky. Avšak koncept spolupráce není povinný. Ke spolupráci dojde pouze, když souhlasí obě strany. A podmínka souhlasu je většinou jasná, pokud spolupráce přinese hráči větší užitek (výhodu), než když by hrál sám. Jinak řečeno, kooperací získám víc, než kdybych hrál na vlastní triko.

Základní příklad: Hráči Alice a Bob hrají online hru, kde rozvíjejí své město. Alicino okolí tvoří z 90 procent lesy a z 10 procent železnými doly. Naopak okolí Bobova města tvoří z 90 procent železné doly a z 10 procent lesy. Alice má dostatek dřeva na stavbu nových domů, ale nedostatek železa pro tvorbu oceli na zbraně. Bob je na tom opačně, disponuje železem na výrobu zbraní, ale má nedostatek dřeva. Hra poskytuje směnu surovin, ovšem s příplatkem zlata a v nevýhodném kurzu. Alice a Bob se mohou domluvit (kooperovat), že každý nebude draze měnit suroviny s hrou, ale vymění je navzájem. Vytvoří úmluvu (dohodu), ve které si specifikují směnný poměr surovin a dle tohoto poměru si budou vzájemně vyměňovat suroviny, aby dosáhli vyššího zisku. Navíc ušetří zlato, které bylo jako poplatek za směnu.

Kooperativní hry dvou hráčů

Kooperativní hry dvou hráčů jsou zvláštní tím, že pokud dojde ke vzájemné spolupráci, kooperují všichni (oba) hráči. Narozdíl od kooperace více hráčů, kde se všichni hráči nemusí zapojit a některý může hrát bez využití spolupráce. U totoho druhu hry platí taktéž pravidlo, že spolupráce mezi dvěma hráči se uskuteční pouze, pokud to přinese oběma hráči stejný vyšší zisk (výhru), než kdyby nespolupracovali. Pokud jeden z hráčů nezíská na kooperaci více, než při nekooperativní hře, nemá důvod tvořit dohodu s druhým hráčem.

Teorie

Základním krokem je určení, jaká by byla výhra v případě, kdyby danou kooperativní hru hráči odehráli jako hru nekooperativní. Tato výhra plyne z Nashova rovnovážného řečení nekooperativní hry a v této problematice se označuje rovnovážná zaručená výhra. O tuto výhru hráč nepřijde, jelikož to je výhra, kterou získá při nekooperativní hře. Zaručená výhra prvního hráče a její hodnotu označujeme v(1), zaručenou výhru druhého hráče stejně, akorát s číslovkou dva v(2).

Posléze maximální celkovou částka, kterou mohou hráči získat dohromady kooperací je vyjádřena následujícím vztahem:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(1,2) = max [f_1(x,y) + f_2(x,y)]}

kde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1} vyjadřuje výplatní funkci prvního hráče, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2} výplatní funkci druhého hráče, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} vyjadřuje zvolenou strategii prvního hráče a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} zvolenou strategii druhého hráče.

Pokud platí podmínka Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(1,2) > v(1) + v(2)} , čili celková částka (výhra) získaná kooperací je větší, než součet rovnovážných zaručených výher obou hráčů, tak je pro hráče výhodné utvořit dohodu a ve hře kooperovat. Posléze tedy optimální strategie, kterou by měli hráči zahrát, odpovídá hodnotě Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(1,2)} . Tuto hodnotu nalezneme tak, že provedeme součet výplatních matich jednotlivých hráčů a najdeme maximální hodnotu v této nové matici.

Učební videa

Game theory: Coalitional games
Yale university: Game theory - cooperative games
Game theory: Cooperative games and Shapley value