Usage-based Insurance

Pojištění vozidel: Chování trhu při zavedení možnosti „pay as you drive“ (usage-based insurance)

Definice problému

V některých zemích, například ve Velké Británii, umožňují pojišťovny alternativní model platby za povinné ručení, známý jako "Pay as You Drive" (PAYD). Pokud se klient rozhodne tento model využít, je mu do automobilu nainstalován GPS tracker snímající veškeré použití vozidla. Na základě dat z tohoto trackeru je poté vypočtena výše pojistného: obvykle jako paušální částka (pronájem zařízení) + variabilní složka dle najetých kilometrů. Tento systém může být rozšířen o penalizaci rizikového chování (například jízdy v noci, uvažuje se i o alkoholtesteru jako součásti záznamového zařízení) či odlišné tarifikace různých typů vozovek.

Cílem semestrální práce je simulovat reakci trhu povinného ručení na zavedení možnosti platit pojištění za ujeté kilometry místo pevné částky. Výsledky budou zkoumány zejména s ohledem na dynamiku chování (jak dlouho trvá modelu přechod do nového rovnovážného stavu, zda dochází k prudkým výkyvům) a typ výsledného rovnovážného stavu (atraktoru).

Předpokládaně chování modelu

Možnosti platby za ujeté kilometry budou zpočátku využívat (zejména) majitelé vozidel s výrazně podprůměrnou ročně ujetou vzdáleností, tedy i nehodovostí. (kteří na současném systému prodělávají). Tím odčerpají peníze ze systému klasického pojištění, na což pojišťovny musí zareagovat zvednutím výše pojistného. Při vyšší ceně pojistného se platba za ujeté kilometry stane výhodnou pro více pojištěnců, kteří odčerpají další peníze atd.

Pro určité vstupní parametry bude výše naznačený cyklus trhem tlumen (a ve výsledném rovnovážném stavu budou existovat zároveň oba systémy pojištění, Při dostatečně nízké ceně PAYD však dojde ke změně atraktoru, trh nedokáže cyklus brzdit a všichni klienti (až na jednoho posledního) přejdou k novému systému pojistného.

Výzkumné problémy

Jakým způsobem závisí podíl PAYD pojištěnců (po ustálení) na fixní a variabilní částce pojistného (při ostatních parametrech neměnných)?

Jaký je průběh vývoje trhu (v čase) pro vybrané vstupní parametry?

Metoda

Pro určení vhodné metody byla provedena analýza dle otázek, které jsou součástí Agentology metodologie:

Are there entities that can make decisions?

Ano, pojištěnci i pojišťovny.

Are there many kinds of decision-making entities or many kinds of decisions?

V simulaci existují dva, respektive tři (pokud uvažujeme každý typ pojišťovny samostatně) druhy subjektů. Rozhodnutí jsou poměrně jednoduchá, v případě pojištěnců jde o volbu mezi dvěma typy pojištění, u pojišťoven o stanovení ceny pojistného tak, aby vyhověly požadavkům zákona (Pojistitel je povinen stanovit výši pojistného tak, aby zabezpečil trvalou splnitelnost závazků vzniklých provozováním pojištění odpovědnosti a úhradu příspěvků Kanceláři) a odolaly konkurenčním subjektům.

Does it look like the system will have dynamic characteristics (its former states influence the future states)?

Ano.

We do not feel a need to treat an overall behavior of the whole system on macro-level.

Pojišťovny se rozhodují na základě makro-dat, které lze ale jednoduše agregovat z dat o jednotlivých objektech.

Is it difficult to describe the whole situation as a process diagram or state-and-transition diagram?

Situaci lze zachytit jako state-and-transition diagram s poměrně mnoha prvky, ale málo vazbami.

Is it difficult to “count up” the entities into lump sums and then work solely with such amounts? It means, are there many different entities that we cannot treat together?

Při jistém zjednodušení modelu (zejména absolutní racionalita pojištěnců a abstrahování od elasticity poptávky, viz kapitola Předpoklady a omezení modelu) lze simulovat i s agregovanými daty. Pro některá navrhovaná rozšíření jsou tato omezení nepřijatelná, poté by byl pravděpodobně vhodnější agentní model.

Are spatial factors of the environment important for the simulation?

Ne

Na základě uvedených otázek byla jako vhodná metoda zvolena diskrétní simulace. Z odpovědí ale vyplývají i omezení, která je třeba respektovat v dalších fázích modelování.

Jako prostředí byl zvolen tabulkový kalkulátor MS Excel ve verzi 2010, zejména z důvodů jeho dostupnosti, známému prostředí, matematickým schopnostem, možnostem doprogramovat další potřebné funkce pomocí VBA a poměrně dobrým možnostem analýzy a prezentace dat.

Model

Předpoklady a omezení modelu

• Rovnováha na trhu: Do uvedení možnosti platby PAYD je trh v dokonalé rovnováze. Vlivem konkurence pojišťovny negenerují zisk, vybrané pojistné přesně kryje náklady na úhradu pojistných událostí.
• Absolutní racionalita pojištěnců: Pojištěnec se rozhoduje vždy pro variantu přinášející mu nejvyšší zisk. Nemá žádné transakční náklady, takže se ke změně pojištění rozhodne i ve chvíli, kdy je pro něj výhodnější jen o několik haléřů. Toto zjednodušení obvykle ve skutečnosti platí až v dlouhém čase. Toto omezení lze chápat také tak, že simulace dává odhad maximálního možného efektu, kterého zavedení pojištění při daných parametrech dosáhne.
• Cenová diskriminace: Model abstrahuje od různých cen pro různé objemy motoru, "bonusu dobrého řidiče" apod. Ceny vyjadřují průměrnou hodnotu. Předpokládá se, že i při použití modelu PAYD bude cena odstupňována (například podle hmotnosti vozidla, objemu motoru) podobně jako klasického pojištění.
• Počet vozidel, najetých km, nehodovost: se v čase simulace nemění.

• Počet ujetých kilometrů na automobil: Rozložení je dáno Gamma rozdělením, jeho parametry budou v modelu odhadnuty na základě dostupných dat.
• Doba trvání pojistných smluv: Pojistné smlouvy se uzavírají vždy na dobu určitou 12 měsíců. Objem smluv v čase je rozložen rovnoměrně, takže každý kalendářní měsíc sochází k uzavření jedné dvanáctiny z celkového objemu pojistných smluv.

Relevantní data

• Počet osobních vozidel v ČR (data za rok 2009): 4435000
• Průměrná roční kilometráž na osobní vozidlo/dodávku: 9570/rok
• Elasticita poptávky po dopravě osobním automobilem: viz rešerše zahraničních i českých výzkumů

Implementace

Simulace je provedena v prostředí MS Excel jako sled iterativně prováděných diskrétních operací, prováděných jednou za měsíc.

Konstanty (vstupní parametry) modelu

Model pracuje s následujícími konstantami (vstupními parametry):

Gamma rozdělení s průměrem 9570 a rozptylem 20000000, distribuční funkce

Gamma rozdělení s průměrem 9570 a rozptylem 20000000, kumulativní distribuční funkce

Zkratka	Název	Hodnota (dle reálných dat)	Poznámka
aut	Počet vozidel	4435000
kmrocne_prumer	Průměrný počet ročně najetých kilometrů na 1 vozidlo	9570	Jedna z vstupních hodnot pro parametry Gamma rozdělení
kmrocne_rozptyl	Rozptyl ročně najetých km na vozidlo		Jedna z vstupních hodnot pro parametry Gamma rozdělení, data nedostupná, použit kvalifikovaný odhad 20000000 (odpovídá směrodatné odchylce 4472km)
pojistne_klas (i0)	Pojistné klasické		Klasické roční pojistné za jeden automobil, počáteční hodnota. Průměrná cena pojistného na českém trhu nebyla zjištěna, jen hrubě odhadnuta na 5000Kč. Přesné určení ceny nemá vliv na přesnost výsledků simulace, zásadní je poměr jednotlivých cen.
pojistne_payd_fix	Pojistné PAYD - fixní část		Fixní část PAYD pojistného, roční paušální platba za automobil (administrativní náklady, pronájem gps trackeru, ale může vyjadřovat i implicitní náklady pojištěnce z "pocitu sledování" - potom by ale tato část neměla být započítávána do příjmů pojišťovny). Pro simulaci mají smysl hodnoty nižší než je klasické pojistné (včetně záporných)
pojistne_payd_var	Pojistné PAYD - variabilní část		Variabilní část PAYD pojistného: platba za ujetý kilometr. Smysl mají hodnoty větší než 0.

Proměnné modelu

Pro každé období se sleduje 12 proměnných, způsob jejich výpočtu je naznačen v následující tabulce:

Zkratka	Název	Vstupní hodnota	Výpočet	Poznámka
i	Období	1
pojistencu_klas	Pojištěnců klasických		=1-pojistencu_payd	Podíl pojištěnců s klasickým pojištěním na trhu
pojistencu_payd	Pojištěnců PAYD		=GAMMA.DIST(mezkm;alpha;beta;1)	Podíl pojištěnců s PAYD pojištěním na trhu
pojistne_klas	Pojistné klasické (rok)	pojistne_klas (i0)	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac{pojistne\_opt - vyb\_poj_{(i-1)}}{aut * pojistencu\_klas_{(i-1)}}}	Pojišťovna musí měnit cenu klasického pojištění tak, aby byla schopná dostát svým závazkům (celkové vybrané pojistné musí zůstat stejné). Rozhoduje se na ákladě údajů z minulého období.
km_klas	Kilometrů klas		=aut*kmrocne_prumer-km_payd
km_payd	Kilometrů PAYD	0	=najetychkm(pojistencu_payd)	do 12. měsíce (zahřívací období) = 0
vyb_poj_klas	Pojistné vybrané klas		=aut*pojistne_klas
vyb_poj_payd_fix	Pojistné vybrané PAYD - fixní složka		=aut*pojistne_payd_fix
vyb_poj_payd_var	Pojistné vybrané PAYD - variabilní složka		=km_payd*pojistne_payd_var
vyb_poj_payd	Pojistné PAYD celkem		=vyb_poj_payd_fix+vyb_poj_payd_var
vyb_poj	Pojistné celkem		=vyb_poj_klas+vyb_poj_payd
mezkm	Mezní km		Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\frac{pojistne\_klas * pojistne\_payd\_fix}{pojistne\_payd\_var}}	Počet ročně najetých kilometrů, pro které je cena obou pojištění stejná.
vyb_poj_roc	Roční vybrané pojistné (klouzavý součet)		Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle =\sum_{i-1}^{i-12} vyb\_poj}

Funkce

najetychkm(hranicniprocento)

Funkce vrací počet kilometrů, které ročně souhrnně najede skupina nejméně jezdících automobilů (hranice je dána parametrem hranicniprocento). Jde o integrál kumulativní distribuční funkce gama rozdělení (s parametry danými konstantami Alpha a Beta), vynásobený počtem celkově najetých kilometrů (počet automobilů * průměr najetých kilometrů na automobil)

Public Function najetychkm(hranicniprocento)
'najetychkm = hranicniprocento
If (hranicniprocento <= 0.995) Then
i = 2
Do While Worksheets(2).Cells(i, 1) <= hranicniprocento
i = i + 1
Loop
'najetychkm = Worksheets(2).Cells(i - 1, 4)
najetychkm = (Worksheets(2).Cells(i, 4) * (hranicniprocento - Worksheets(2).Cells(i - 1, 1)) + Worksheets(2).Cells(i - 1, 4) * (Worksheets(2).Cells(i, 1) - hranicniprocento)) / (Worksheets(2).Cells(i, 1) - Worksheets(2).Cells(i - 1, 1))
Else
najetychkm = Range("aut").Value * Range("kmrocne_prumer").Value / 12
End If
End Function

Integrál je počítán numericky jako plocha pod křivkou. Pro urychlení výpočtu a zjednodušení kódu je pro každý krok o konstantní velikosti 1% (lze použít libovolný krok) spočítán na druhém listu tabulky. Makro tedy pouze za pomoci cyklu nalezne dvě nejbližší vypočítané hodnoty, ze kterých vypočítá vážený průměr.

Kumulativní distribuce najetých kilometrů [biliony km] (význam grafu je podobný jako u Lorenzovy křivky, tedy například 40% nejméně jezdících aut najede v součtu 10bio km. Přerušovaná čára ukazuje podobu grafu pro rovnoměrné rozdělení.)

Uživatelské rozhraní

Uživatelské rozhraní simulace

Vstupní parametry se zadávají (ručně nebo například pomocí tabulky dat) do oranžově označených polí v horní části tabulky. Ostatní pole se při běžném použití simulace nevyplňují. V hlavní (výsledkové) části listu, označené jednoduchou čarou, je vypočten vývoj proměnných v čase. Čára pod prvními dvanácti měsíci znázorňuje konec zahřívacího období a zároveň spuštění možnosti platit pojištění metodou PAYD.

Možná rozšíření

Při setrvání u použité metody jsou možnosti rozšíření modelu ve smyslu odstranění omezení, resp. zmírnění předpokladů velmi omezené. Větší možnosti by umožnilo použití jiné metody, například multiagentní simulace. Vytvoření jiného modelu stejného problému a následná konfrontace výsledků obou modelů by navíc umožnilo ověření správnosti výsledků.

Další možné rozšíření se týká vstupních parametrů. V prezentovaném modelu jsou určeny deterministicky, pro reálnou aplikaci by bylo vhodné umožnit určitou nejistotu, použít metodu Monte Carlo, a to buď s využitím v excelu dostupných prostředků, nebo s jinými nástroji, například Oracle Crystal Ball.

Výsledky

Kapitola přináší odpovědi na výzkumné problémy. Pokud není uvedeno jinak, vstupní parametry jsou následující:

Parametr	Hodnota
aut	4435000
kmrocne_prumer	9570
kmrocne_rozptyl	20000000 (odpovídá směrodatné odchylce 4472km)
pojistne_klas (i0)	5000

Závislost podílu PAYD pojištěnců na fixní a variabilní částce pojistného

Veškeré výsledky byly změřeny jako roční výnos za třetí rok. Výpočtem variačního koeficientu pro jednotlivé měsíce bylo ověřeno, že se jedná o ustálenou hodnotu. Písmeno Z značí, že hodnota není přípustná (při daných parametrech není možné udržet celkovou výši vybraného pojistného).

Tabulka dat / heatmapa závislosti podílu PAYD pojištěnců (po ustálení) na fixní (vertikální osa) a variabilní (horizontální osa) částce pojistného

Graf závislosti podílu PAYD pojištěnců (po ustálení) na fixní (horizontální osa) a variabilní (datové řady) částce pojistného

Průběh vývoje trhu (v čase) pro vybrané vstupní parametry

Pro většinu parametrů se model ustálí během krátké doby (do 18 měsíců). Při zadání hodnot způsobujícím blízké přiblížení k 100% podílu PAYD pojištěnců ale dochází k výrazným oscilacím. Toto chování přisuzuji chybám v modelu (zaokrouhlování).

Ustálení podílu PAYD pojištěnců při pojistne_payd_fix=3600 a pojistne_payd_var=0.2

Oscilace podílu PAYD pojištěnců při pojistne_payd_fix=3600 a pojistne_payd_var=0.146

Závěr

Výsledky ukazují, že při vhodném nastavení cen nedojde k postupnému odchodu všech pojištěnců k novému systému pojištění. Model je možné zobecnit i pro jiné případy opt-outu, například přechod z průběžného systému spoření na penzi na fondový po důchodové reformě.

Přílohy

Soubor se simulací ke stažení (.xlsm, pro Office 2010): File:Xbarr10 usagebasedinsurance.zip

Seznam literatury

• (BRŮHOVÁ-FOLTÝNOVÁ, 2007) BRŮHOVÁ-FOLTÝNOVÁ, Hana. Centrum pro otázky životního prostředí, UK v Praze. Analýza každodenního dopravního chování dospělého městského obyvatelstva a nástroje regulace dopravy: Přehledová studie: Rešerše literatury 2.1. Praha, 2007. Dostupné z: http://www.czp.cuni.cz

• (Eurostat, 2012) EUROSTAT. Passenger cars, by age [online]. 06-03-2012. [cit. 2012-05-30].

• (OECD, 2010) OECD. IRTAD Annual Report 2009. 2010.

• (Šalamon, 2011) Šalamon, Tomáš (2011). Design of Agent-Based Models : Developing Computer Simulations for a Better Understanding of Social Processes. Řepín, Czech Republic: Bruckner Publishing

• (168/1999 Sb.) 168/1999 Sb.: Zákon o pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla a o změně některých souvisejících zákonů. In: 57/1999. Dostupné z: http://portal.gov.cz/app/zakony