Queueing theory/cs

Teorie hromadné obsluhy (Teorie front)

Jednou z podskupin diskrétních simulací je teorie hromadné obsluhy, v češtině často nazývaná jako "Teorie front".

Úvod

Teorie front zkoumá systémy, na které opakovaně přicházejí sekvence požadavků a jejich výskyt je náhodný. Zjišťujeme tak například potřebnou kapacitu zdrojů, nebo optimální využití výrobních linek. Tato chování se dají nasimulovat do tzv. stochastických modelů. Cílem těchto modelů je analýza stávajících systémů a nalezení nejvhodnějšího způsobu optimalizace. Zároveň se musí optimalizovat množství lidí čekajících ve frontě a vytížení obslužných linek. Pro simulování frontových systémů potřebujeme informace o vstupním toku (např. jak často přijde nový požadavek na server), o frontovém systému, který se vytvoří, pokud požadavek nemůže být ihned vyřízen a organizace obsluhy - počet volných jednotek vykonávající proces obsluhy a jejich popis. Pokud mluvíme o vstupu jako o zákazníkovi, nejedná se o zákazníka v striktním slova smyslu, ale může to být proces, služba, člověk ale i jakýkoliv požadavek čekající na vyřízení.

Schéma teorie front

• Objekty vyžadující obsluhu (zákazníci, jednotky, požadavky)
• Množina jednotek přicházející v úvahu pro hromadnou obsluhu
• Časová posloupnost vstupu jednotek
• Množina jednotek čekajících na obsluhu
• Systém realizující obsluhu
• Časová posloupnost výstupu

Základní informace nutné k řešení

Pro návrh systémů hromadné obsluhy je nutné znát základní parametry:

• Vstupní tok

"zákazníci" mohou do systému vstupovat jednotlivě nebo hromadně

• Frontový režim

systém, jakým jsou zákazníci čekající na obsluhu řazeni do systému - FIFO (First-in-First-out), LIFO (Last-in-First-out), SIRO (Service in Random Order), PRI (Priority queue)

• Organizace obsluhy

zda je k dispozici jeden obslužný systém, paralelní či sériové zapojení systémů 

Kendallova klasifikace

D.G. Kendall byl anglický statistik a matematik, v 50. letech zavedl notaci pro jednotnou charakteristiku systémů hromadné obsluhy. Jelikož jsou systémy hromadné obsluhy velmi komplexní, je nutné standardizovat jejich značení pro zjednodušení následných výpočtů.

David George Kendall
15 January 1918 – 23 October 2007 anglický statistik a matematik

Jelikož tyto informace nejsou v praxi dostačující, rozšířil se model o další 3 klasifikační třídy.

Na jednotlivé pozice se do modelu dosazují kódy (výsledný model může mít až šestimístný kód - A/B/C/D/E/F)

• A

Pravděpodobností rozdělení intervalů mezi příchody požadavků, nejčastěji:
N - normální rozdělení
M - exponenciální rozdělení
U - rovnoměrné rozdělení
G - obecné rozdělení

• B

pravděpodobnostní rozdělení doby obsluhy, stejné jako A

• C

počet paralelně zapojených obslužných linek

• D

kapacita obslužného systému (neuvedeno = nekonečno)

• E

zdroje požadavků (neuvedeno = nekonečno)

• F

systém fronty (FIFO, LIFO, ...)

např. zápis systému M/M/1/ Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty} / Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty} /FIFO se zjednodušeně zapíše M/M/1

Vzorce

Pro jednoobslužný systém

* požadavky přichází s Poissonovým rozdělením
* počet požadavků přicházející do systému v intervalu <0;T>,  p(n) = Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle $\frac{(\lambda T)^n}{n!}$ $e^{({-}\lambda T)}$}