Pravděpodobnostní rozdělení

Úvod

Změříme-li nějakou veličinu, jde z hlediska teorie o náhodný pokus. Předpis, který přiřazuje každému výsledku našeho náhodného pokusu určité číslo, se nazývá náhodná veličina. Z matematického hlediska je tedy náhodná veličina (x) reálná funkce definovaná na množině všech elementárních jevů (jednotlivé možné výsledky pokusu), která každému jevu přiřadí reálné číslo. Pravděpodobnost, s kterou náhodná proměnná nabývá určité hodnoty nebo je obsažena v určitém intervalu hodnot se nazývá pravděpodobnostní rozdělení.

Pro vysvětlení principu je vhodné použít nejklasičtější příklad. Hod mincí se sledováním výsledku, co padlo, je vlastně provedení náhodného pokusu. Definičním oborem (možnými výsledky) tohoto pokusu jsou dva výsledky - první možnost = padne líc (panna); - druhá možnost = padne rub (orel). Obor hodnot je v tomto případě množina {0,1}. Pro tuto situaci vlastně definiční obor a obor hodnot splývají, ale jak lze vidět v dalších příkladech, nemusí tomu tak být. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.

Obecně platí, že ve statistice se používají velká písmena k reprezentování náhodné proměnné a malá písmena, představují jednu z jejich hodnot. Například, X představuje náhodné proměnné x. P (X) představuje pravděpodobnost X. P (X = x), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovna na určitou hodnotu, označené x. Jako příklad lze uvést, P (X = 1), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovno 1.

Modifikovaným příkladem s hodem mincí bude jasně znázorněn vztah mezi náhodnými proměnnými a rozdělením pravděpodobnosti a zároveň se svým způsobem vracíme k našemu úvodu. Představte si, že hodit mincí dvakrát. Tento jednoduchý statistický experiment může mít čtyři možné výsledky: HH, HL, LH, a LL. Nyní proměnná X představuje počet hlav, které padnou při tomto experimentu. Proměnná X může nabývat hodnot 0, 1, nebo 2. V tomto příkladu, X je náhodná proměnná, protože jeho hodnota je určena na základě výsledků statistického experimentu. Rozdělení pravděpodobnosti je tabulka, nebo rovnice, která spojuje jednotlivé výsledky statistické experimentu s jeho pravděpodobností výskytu. V následující tabulce, která sdružuje výsledky s pravděpodobností, je předveden příklad rozdělení pravděpodobnosti.

Výše uvedená tabulka představuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X.