Výnosnost fondových portfolií (Monte Carlo)
 | Dokumentace není kompletní! |
Základní údaje
- Název: Výnosnost fondových portfolií
- Předmět: 4IT495 Simulace systémů
- Autor: Zdeňka Hatnianková
- Typ: Monte Carlo
- Modelovací nástroj: MS Excel 2007
Podílové fondy jsou atraktivní možností investování pro malé investory. Podílníci nemusejí disponovat velkými finančními obnosy ani zvláštními znalostmi o fungování trhu. Podílové fondy jsou spravovány profesionály z investičních společností. Stačí zaplatit vstupní poplatek. Existují i další, poplatky, ale o nich mluvit nebudeme.
Contents
Definice problému
V rámci simulace uvažujeme 5 portfolií s různě velkou složkou akciových a dluhopisových podílových fondů. Každé investiční portfolio je spojeno s jistou mírou rizika, které investor podstupuje. Riziko podílového fondu, resp. portfolia podílových fondů lze měřit několika způsoby. V této simulaci bylo kvantifikováno velikostí směrodatné odchylky výnosu.
Náš investor bude investovat v dlouhodobém časovém horizontu. Podílové fondy neslouží k nějakému „aktivnějšímu“ obchodování, ale spíše k účelu dlouhodobějšího investování. Náš investor bude požadovat určitý výnos v dlouhodobém časovém horizontu (10 let), zároveň bude pravidelně každý měsíc do portfolia přispívat. Simulace vychází z historických výnosů jednotlivých podílových fondů podílejících se na portfoliu. Pro určení pravděpodobnostního rozdělení nejlépe popisujícího vývoj výnosů jednotlivých podílových fondů byly použity vhodné neparametrické statistické testy (Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling).
Pro reálnější zachycení vývoje výnosu podílového fondu, potažmo celého portfolia, byly sledovány historické výnosy v několika obdobích, které se vyznačují různými podmínkami na trhu (značné výnosy, „klidnější“ období, značné propady).
Pro každý podílový fond byl vygenerován výnos ze zjištěného pravděpodobnostního rozdělení na každý měsíc sledovaného období, čímž dopočtem byl získán výnos celého portfolia. Pro každé portfolio bylo proveden dostatečný počet simulačních běhů, abychom dostali reprezentativní výsledky. Ve stanoveném dlouhodobém horizontu byla zohledněna období s různými podmínkami na trhu (viz výše). V rámci každého simulačního běhu bude každý měsíc stanovena hodnota investice, kdy se předpokládá pravidelný nákup podílových fondů každý měsíc. Na konci sledovaného období dostáváme hodnotu každého portfolia. Očekávanou hodnotu portfolia pak byla stanovena jakožto průměr hodnot ze všech simulačních běhů. Porovnáním finální hodnoty investice s investovanou částkou dostáváme její výnosnost.
Základní otázku, na kterou by simulace měla odpovědět je, zda se vyplatí riskovat více či méně. Opravdu platí „zaběhnutá“ poučka, že rizikovější investice má větší šanci na větší výnos? Nicméně pomocí simulace můžeme také zjistit, v kolika případech byl výnos jednotlivých portfolií vyšší nebo stejný jako požadovaný výnos investora. Respektive jaká je pravděpodobnost, že investor docílí alespoň takového výnosu, který si na počátku stanovil. Spolehlivost výnosnosti je pro investora rovněž důležitým faktorem.
Metoda
Práce se zabývá problematikou investičního portfolia. Pohybujeme se tedy v prostředí kapitálového trhu, pro který jsou typické podmínky nejistoty. Za účelem přijetí správného investičního rozhodnutí je třeba brát tyto elementy nejistoty v potaz. V našem případě lze za tento element považovat výnos otevřeného podílového fondu, který je v čase proměnlivý. V takovém případě se nabízí vyjádřit tento prvek jako stochastický. Výnos je tedy klasifikován jako náhodná veličina s určitým spojitým pravděpodobnostním rozdělením.
Jelikož chceme dokázat vztah mezi rizikem a výnosem investičního portfolia v delším časovém horizontu, sledujeme historický dlouhodobý vývoj výnosů otevřených podílových fondů. Jedna z možností je vyjádřit vývoj výnosu jeho střední hodnotou. To však zejména v delším časovém horizontu, zvláště v případě velmi proměnlivých výnosů, je poněkud zjednodušující. Pokud chceme reálně zohlednit vývoj v čase proměnlivých výnosů, technika simulace Monte Carlo se přímo nabízí. Vygenerováním dostatečného počtu scénářů vývoje výnosů otevřených podílových fondů budeme schopni analyzovat sledované jevy. První otázka, na kterou je třeba odpovědět, se týká rozdělení hodnot výnosů. Jelikož jsou k dispozici historické údaje o výnosech otevřených podílových fondů, byly vybrány k určení jejich pravděpodobnostních rozdělení některé neparametrické statistické testy. Použity byly dva nejznámější testy, kterými jsou Kolmogorov-Smirnov a Anderson-Darling test. Druhý jmenovaný byl využit v případě, kdy byl k dispozici menší počet historických údajů. V takovém případě je právě Anderson-Darling test příhodnější. V ostatních případech byl použit Kolmogorov-Smirnov test. Dále bylo třeba určit techniku, kterou bude měřeno riziko spojené s investováním do otevřených podílových fondů. Riziko bylo pojato jako možná výchylka od střední hodnoty výnosu v konkrétním sledovaném období. Riziko bylo tedy měřeno pomocí směrodatné odchylky výnosu.
Simulace byla provedena převážně v MS Excel 2007. Neparametrické statistické testy byly provedeny v aplikaci Crystal Ball od společnosti Oracle v prostředí MS Excel. Generování náhodných čísel z normálního rozdělení bylo provedeno v MS Excel. Hodnoty náhodných čísel z logistického rozdělení byly generovány ve statistickém programu SPSS, jelikož v MS Excel to není možné (aspoň ne ve verzi 2007).
Model
Jak již bylo v úvodu řečeno, sledujeme dlouhodobější investici do otevřených podílových fondů. Investiční horizont byl stanoven na 10 let. Délka vystihuje zamýšlený delší časový investiční horizont. Druhým důvodem této volby je dostatečný počet historických výnosů otevřených podílových fondů.
Pro sledování vztahu mezi výnosem a rizikem investice je třeba stanovit reprezentativní portfolia otevřených podílových fondů. Pro analýzu byly zvoleny otevřené podílové fondy Investiční spořitelny České spořitelny. Důvody této volby byly dva. Zaprvé je to osobní zkušenost s těmito podílovými fondy. Dalším velmi důležitým aspektem je snadná dostupnost údajů o tržních cenách podílových listů. Investiční společnost ČS nabízí řadu akciových a dluhopisových otevřených podílových fondů[1]. Pro tuto analýzu byly vybrány dva dluhopisové fondy (Sporoinvest, Korporátní dluhopisový) a dva akciové fondy (Global Stocks, Top Stocks), ze kterých byla následně tvořena fondová portfolia. Tyto fondy byly vybrány zejména z toho důvodu, že mají dostatečnou historii. Početnost fondů v portfoliu byla zvolena tak, aby odrážela běžná investiční portfolia při stanovené výši investovaných finančních prostředků.
Vytvořeno bylo 5 investičních portfolií, která mají různá zastoupení akciových a dluhopisových podílových fondů. Podíly fondů v jednotlivých portfoliích jsou zobrazeny v následující tabulce (Tabulka 1).
| Sporoinvest | Korporátní dluhopisový | Global Stocks | Top Stocks | |
|---|---|---|---|---|
| Portfolio I | 40 % | 40 % | 0 % | 20 % |
| Portfolio II | 30 % | 30 % | 20 % | 20 % |
| Portfolio III | 25 % | 25 % | 25 % | 25 % |
| Portfolio IV | 20 % | 20 % | 30 % | 30 % |
| Portfolio V | 20 % | 0 % | 40 % | 40 % |
Portfolio I obsahuje 80 % dluhopisových podílových fondů a 20 % akciových. Portfolio II je složeno z 60-ti % z dluhopisových podílových fondů, a ze 40-ti % z akciových. Portfolio III je z poloviny tvořeno fondy akciovými a z poloviny dluhopisovými. Portfolio IV vykazuje složku dluhopisových fondů ve výši 40 %, složku akciových fondů pak ve výši 60 %. Portfolio V se skládá z 20-ti % z dluhopisových fondů a z 80-ti % z akciových. Portfolia jsou stanovena tak, aby odrážela různé investiční strategie (od „konzervativní“ až „odvážné“). V portfoliu I a V je složka akciových, resp. dluhopisových fondů menší, je tedy zahrnut jen jeden podílový fond. U portfolia I je vybrán Top Stocks zejména z důvodu zajímavějšího historického vývoje jeho výnosů. U portfolia V je volen stabilní a zavedený dluhopisový fond Sporoinvest.
Investiční období
Jak již bylo řečeno, budeme sledovat investiční horizont 10-ti let. Abychom postihli vývoj výnosů podílových fondů co nejvěrněji, rozdělíme sledované období na 3 etapy. Jedna etapa postihuje situaci, kdy na kapitálovém trhu dochází k všeobecnému růstu cen podílových listů. Druhá etapa naopak odráží nepříznivou situaci, kdy na trhu vládne spíše panika a ceny podílových listů fondů padají. Třetí etapu je možno charakterizovat jako období „klidu“, kdy dochází k běžným fluktuacím cen podílových listů.
Základní otázkou je, jakým historickým obdobím se inspirovat k zachycení vývoje výnosů. Nakonec rozhodnutí padlo na uplynulou dekádu, tedy přibližně období od roku 2006 do roku 2016. V tomto období se na kapitálových trzích odehrálo „všechno“. Počáteční vývoj byl poměrně poklidný, konec roku 2007 pak odstartoval období „drtivých“ poklesů, které s určitými pozitivními korekcemi trvaly do počátku roku 2009. Poté začíná pro investory velmi pozitivní období, které trvá přibližně do poloviny roku 2011. Druhou část sledované dekády můžeme hodnotit jako období „stability“, kdy se střídají poklesy a vzestupy cen podílových listů podílových fondů, tedy i jejich výnosů. Stanovená období je třeba brát lehce s rezervou. Není možné říci, že ve stanovených dílčích etapách ceny všech fondů jen rostou, či klesají. Byla zde však snaha vysledovat alespoň přibližně většinové trendy.
Z výše zmíněného historické pohledu je rozděleno simulované období (120 měsíců) do 3 etap. Etapa „pokles“ trvá 9 měsíců, etapa „růst“ 18 měsíců a etapa „fluktuace“ 93 měsíců. Etapa „pokles“ simuluje období razantnějších poklesů, etapa „růst“ naopak období významnějších vzestupů cen podílových listů. Fáze „normální“ popisuje období častěji se střídajících poklesů a vzestupů. Rozvrstvení období 10-ti let je také inspirováno dekádou 2006-2016. Ve struktuře od počátku až do konce období je zobrazeno v následující tabulce (Tabulka 2).
| „normální“ | „pokles“ | „růst“ | „normální“ |
|---|---|---|---|
| 33 měsíců | 9 měsíců | 18 měsíců | 60 měsíců |
Pravděpodobnostní rozdělení
Pro každou etapu simulovaného období je třeba znát výnosy každého podílového fondu. Jinými slovy, musíme určit pravděpodobnostní rozdělení, které popisuje co nejlépe hodnotu výnosu podílového fondu v konkrétní etapě sledované investiční dekády. Za tímto účelem byly využity historické údaje o cenách podílových listů příslušných podílových fondů v období 2006-2016, které jsou dostupné v „excelovské“ tabulce na webu Investičního centra České spořitelny [2].
Jelikož v naší analýze uvažujeme pravidelné měsíční investování, počítáme výnosy měsíční. Měsíční výnos je vypočítán jako podíl ceny podílového listu na konci sledovaného měsíce a ceny podílového listu na konci měsíce předchozího, od kterého je odečtena 1. Pokud bychom chtěli tento výnos vyjádřit v procentech, vynásobíme ho 100. Jak bylo naznačeno výše, pro etapu „pokles“ počítáme výnosy v nepříznivém období od října 2007 do března 2009. Pro etapu „růst“ sledujeme výnosy v období pozitivním, tedy od dubna 2009 do května 2011. Pro etapu „normální“ počítáme měsíční výnosy z historických dat období od října 2006 do srpna 2007 a od června 2011 do května 2016.
Jakmile máme vypočítány historické měsíční výnosy v rámci jednotlivých období, pak na jejich základě můžeme přistoupit ke stanovení pravděpodobnostních rozdělení výnosů podílových fondů. Výnos byl určen pro každý podílový fond v rámci každé etapy. Rozdělení výnosů v rámci etapy „pokles“ byl primárně určen na základě Anderson-Darling testu, protože máme poměrně málo historických měsíčních výnosů (říjen 2007 až březen 2009). Rozdělení pro výnosy v rámci etap „růst“ a „normální“ byl určen prostřednictvím Kolmogorov-Smirnov testu, který je lépe aplikovatelný v situaci většího množství pozorování. U všech případů jsme pro úplnost využili oba testy, abychom měli srovnání. Dle výsledků výnosy podílových fondů vykazují buď rozdělení normální, anebo logistické. Logistické rozdělení by mohlo být překvapivým výsledkem. Už ale i z jiných analýz, které vycházely z jiných historických údajů, se ukázalo, že právě logistické rozdělení je schopno dobře opsat hodnotu výnosů podílových fondů. Možná by se očekávalo, že místo normálního rozdělení spíše bude lepší rozdělení Studentovo, jak se často zmiňuje. U podílových fondů tomu tak ale často není. Podrobný přehled zjištěných pravděpodobnostních rozdělení včetně jejich parametrů u každého podílového fondu v rámci každé etapy můžeme nalézt v přiloženém „excelovském“ souboru s názvem Data o PF v listu Rozdělení v kapitole Soubory .
Riziko
Riziko otevřeného podílového fondu je vyjádřeno pomocí směrodatné odchylky jeho výnosů. Tedy v každém ze třech sledovaných historických období byla vypočtena směrodatná odchylka měsíčních výnosů pro každý podílový fond. Jelikož každá etapa simulované dekády je různě dlouhá, celkové riziko podílového fondu je vypočítáno jako vážený součet těchto dílčích směrodatných odchylek výnosů. Váhy jsou dány podílem počtu měsíců trvající příslušné etapy a celkovým počtem měsíců. Pro etapu „pokles“ je tedy váha 9/120, pro etapu „růst“ 18/120 a pro etapu „normální“ 93/120. Výpočet rizika všech podílových fondů je možné nalézt v přiloženém „excelovském“ souboru s názvem Data o PF na listu Výnosy PF v kapitole Soubory.
Pro prováděnou analýzu je samozřejmě důležité riziko nejen jednotlivých podílových fondů, ale také celého fondového portfolia. Toto riziko se vypočítá standardně jako vážený součet rizik (směrodatných odchylek výnosů) jednotlivých podílových fondů v portfoliu přítomných. Vahami jsou tady podíly zastoupení jednotlivých podílových fondů v portfoliu. Riziko fondových portfolií vyjádřené v procentech (směrodatnou odchylku výnosů v procentech) je zobrazeno v následující tabulce (Tabulka 3).
| Portfolio | Riziko |
|---|---|
| Portfolio I | 2,08% |
| Portfolio II | 2,60% |
| Portfolio III | 2,99% |
| Portfolio IV | 3,37% |
| Portfolio V | 3,97% |
Dle očekávání se zvyšuje riziko portfolia s rostoucím podílem akciových podílových fondů.
Poplatky
Investice do otevřených podílových fondů je spojena s poplatky dvojího typu. Celá řada poplatků se promítá přímo do ceny podílového listu, potažmo výnosu podílového fondu. Druhý typ je reprezentován vstupním poplatkem. To znamená, že v okamžiku koupě podílového listu se investovaná částka krátí právě o tento poplatek. Většinou je poplatek vyjádřen v procentech z investované částky. U podílového fondu Sporoinvest je vstupní poplatek 0,3 %, u Korporátního dluhopisového 1 %, u Global Stocks a Top Stocks 3 %.
Simulační experimenty
Pomocí simulačního experimentu je popsán vývoj výnosů otevřených podílových fondů v desetiletém období. Na základě simulačních běhů můžeme potvrdit či vyvrátit myšlenku, že pro vyšší výnos fondového portfolia je třeba podstoupit vyšší úroveň rizika. Dále budeme moci odpovědět na otázku, s jakou pravděpodobností bude dosaženo alespoň takové úrovně výnosu, jaký si investor předsevzal. Bereme v potaz investiční strategii pravidelného investování. Na počátku sledovaného období je investována částka 1000 Kč. Dále je investováno na konci každého měsíce také 1000 Kč. Dohromady tedy investujeme 120*1000 Kč, tedy 120 000 Kč.
Pro provedení simulačních experimentů metodou Monte Carlo potřebujeme vygenerovat řadu měsíčních výnosů otevřených podílových fondů pro každou etapu sledovaného období 10-ti let. Náhodná čísla z normálního rozdělení jsou generována pomocí funkce NORMINV v MS Excel. Jelikož není možné generovat náhodná čísla z logistického rozdělení, využíváme k tomu statistický software SPSS. Ukázka z generování náhodných čísel v tomto nástroji je k nahlédnutí na obrázku níže (Obrázek 1).
Po vygenerování hodnot měsíčních výnosů pro příslušný podílový fond dostáváme 1000 různých scénářů. Počet je volen z důvodu reprezentativnosti stanovených závěrů na základě simulace. Z druhé strany je zohledněna výpočetní náročnost simulačního experimentu. Tyto scénáře jsou k dispozici v přiložených „excelovských“ souborech Portfolio I až V v prvních čtyřech listech v části Soubory. V řádcích jsou scénáře, ve sloupcích jednotlivé měsíce sledovaného období. Měsíce 1 až 33 a 61 až 120 se týkají etapy „normální“, měsíce 34 až 42 jsou v rámci etapy „pokles“ a měsíce 43 až 60 náleží do etapy „růst“.
Nyní již můžeme přistoupit ke stanovení hodnoty investované částky na konci sledovaného období, tedy hodnoty investice v každém měsíci sledované dekády. Všechny výpočty jsou zobrazeny pro každé portfolio v samostatném „excelovském“ souboru Portfolio I až V v rámci posledního listu. Nejdříve musíme rozdělit investovaných 1000 Kč na počátku období do příslušných podílových fondů dle stanovených podílů těchto fondů v portfoliu. Z každé vložené částky je pak odečten vstupní poplatek, který je třeba zaplatit při koupi podílových listů fondu. Pro popis dalšího postupu vybereme jednoho reprezentanta, například Portfolio I (viz přiložený „excelovský“ soubor Portfolio I poslední list v kapitole Soubory). Dle podílu investujeme do podílového fondu Sporoinvest 400 Kč, které jsou kráceny o vstupní poplatek 1,2 Kč. Částka 398,8 Kč se zhodnotí/ znehodnotí za první měsíc. Na konci tohoto měsíce investujeme dalších 400 Kč, respektive 398,8 Kč.
Celkovou částku na konci prvního měsíce vypočteme tedy dle tohoto vzorce:
částka_na_konci_1.měsíce=inv.částka_snížená_o_poplatek*(1+výnos_za_1.měsíc)+inv.částka_snížená_o_poplatek.
Konkrétně pak:
=398,8*(1+0,0015)+398,8.
Ve druhém měsíci se částka z konce prvního měsíce opět zhodnotí/ znehodnotí, a poté se k ní přičte nově investovaná částka na konci druhého měsíce (398,8 Kč).
Celková hodnota investice na konci druhého období lze vypočítat dle následujícího vzorce:
částka_na_konci_2.měsíce=částka_na_konci_1.měsíce*(1+výnos_za_2.měsíc)+inv.částka_snížená_o_poplatek
Konkrétně pak:
= [398,8*(1+0,0015)+398,8)]*[1+(-0,0016)]+398,8.
Takto pokračujeme dále až do 120. měsíce. V tomto měsíci samozřejmě již k hodnotě investované částky nepřipočítáváme další, protože na konci období již další peníze neinvestujeme. V rámci každého scénáře dostáváme pro každý podílový fond zastoupený v portfoliu ve 120. měsíci (na konci investičního období) finální hodnotu investice do tohoto fondu. Pro získání hodnoty celé investice (portfolia) musíme částky přes všechny fondy sečíst. Například u Portfolia I vychází hodnota investice v rámci prvního scénáře na konci sledovaného období 187 717 Kč. Takto dostaneme hodnotu investice pro každý scénář. Relativní výnos pak dostaneme podílem hodnoty investice a investované částky, který se poníží o 1. Po vynásobení 100 % dostáváme hodnotu v procentech.
Pro tento případ platí:
(187 717/120 000 - 1)*100 %= 56,43 %.
Opět provedeme pro všech 1000 scénářů. Na konci uděláme z hodnot investice, respektive výnosů průměrnou hodnotu.
Celý proces provádíme pro všech 5 fondových portfolií. Výsledkem je průměrná hodnota investice na konci sledovaného období, respektive její průměrný celkový výnos. Pokud bychom chtěli zjistit pravděpodobnost, s jakou fondové portfolio dosáhne alespoň tak vysokého výnosu, jaký si investor stanovil, musíme určit, v kolika případech je alespoň tato hranice dosažena. K tomu využijeme funkci KDYŽ, která zobrazí 1, pokud je tato hodnota dosažena a 0, pokud tomu tak není.
V MS Excel je toto možné zapsat následovně:
=KDYŽ(požadovaný_výnos_investice<=skutečný_výnos_investice;1;0).
Tímto způsobem uděláme pro každý scénář. Pravděpodobnost stanovíme podílem počtu 1 a počtu scénářů.
Výsledky
Závěr
Soubory
Reference
- ↑ Investiční centrum [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://cz.products.erstegroup.com/Retail/cs/index.phtml.
- ↑ Investiční centrum [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://cz.products.erstegroup.com/Retail/cs/Servis_a_kontakt/Ke_stauC5uBEenuC3uAD/index.phtml.
