Distributions/cs

Úvod

Změříme-li nějakou veličinu, jde z hlediska teorie o náhodný pokus. Předpis, který přiřazuje každému výsledku našeho náhodného pokusu určité číslo, se nazývá náhodná veličina. Z matematického hlediska je tedy náhodná veličina (x) reálná funkce definovaná na množině všech elementárních jevů (jednotlivé možné výsledky pokusu), která každému jevu přiřadí reálné číslo. Pravděpodobnost, s kterou náhodná proměnná nabývá určité hodnoty nebo je obsažena v určitém intervalu hodnot se nazývá pravděpodobnostní rozdělení.

Pro vysvětlení principu je vhodné použít nejklasičtější příklad. Hod mincí se sledováním výsledku, co padlo, je vlastně provedení náhodného pokusu. Definičním oborem (možnými výsledky) tohoto pokusu jsou dva výsledky - první možnost = padne líc (panna); - druhá možnost = padne rub (orel). Obor hodnot je v tomto případě množina {0,1}. Pro tuto situaci vlastně definiční obor a obor hodnot splývají, ale nemusí tomu obvykle tak být. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.

Obecně platí, že ve statistice se používají velká písmena k reprezentování náhodné proměnné a malá písmena, představují jednu z jejich hodnot. Například, X představuje náhodné proměnné x. P (X) představuje pravděpodobnost X. P (X = x), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovna na určitou hodnotu, označené x. Jako příklad lze uvést, P (X = 1), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovno 1.

Modifikovaným příkladem s hodem mincí bude jasně znázorněn vztah mezi náhodnými proměnnými a rozdělením pravděpodobnosti a zároveň se svým způsobem vracíme k našemu úvodu. Představte si, že hodit mincí dvakrát. Tento jednoduchý statistický experiment může mít čtyři možné výsledky: HH, HL, LH, a LL. Nyní proměnná X představuje počet hlav, které padnou při tomto experimentu. Proměnná X může nabývat hodnot 0, 1, nebo 2. V tomto příkladu, X je náhodná proměnná, protože jeho hodnota je určena na základě výsledků statistického experimentu. Rozdělení pravděpodobnosti je tabulka, nebo rovnice, která spojuje jednotlivé výsledky statistické experimentu s jeho pravděpodobností výskytu. V následující tabulce, která sdružuje výsledky s pravděpodobností, je předveden příklad rozdělení pravděpodobnosti.

Výše uvedená tabulka představuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X.

Typy rozdělení

Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Je-li náhodná veličina, diskrétní veličina, její rozdělení pravděpodobnosti se nazývá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Příkladem se opět vracíme k hodu mincí. Tento jednoduchý statistický experiment může mít čtyři možné výsledky: HH, HL, LH, a LL. Nyní, ať náhodná veličina X představuje počet hlav, které vyplývají z tohoto experimentu. Náhodná veličina X se může uskutečnit pouze na základě hodnot 0, 1, nebo 2, takže je diskrétní náhodná veličina.

Výše uvedená tabulka představuje diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, protože se týká každé hodnoty diskrétní náhodné veličiny s pravděpodobností výskytu. U diskrétního rozdělení pravděpodobnosti platí, že každá možná hodnota diskrétní náhodné veličiny může být spojena s nenulovou pravděpodobností. Potom platí, že diskrétní rozdělení pravděpodobnosti může být vždy prezentováno ve formě tabulky.

Spojité rozdělení pravděpodobnosti

Je-li náhodná veličina veličinou spojitou, její rozdělení pravděpodobnosti se nazývá spojité rozdělení pravděpodobnosti . Spojité rozdělení pravděpodobnosti se liší od diskrétního rozdělení pravděpodobnosti v několika ohledech.

• Pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná bude předpokládat určitou hodnotu, je nulová.
• V důsledku toho kontinuální rozdělení, pravděpodobnost nelze vyjádřit ve formě tabulky.
• Místo toho se používá k popisu kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti rovnice nebo vzorec.

Nejčastěji používaná rovnice kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti. Pro toto rozdělení pravděpodobnosti má funkce hustoty následující vlastnosti:

• Vzhledem k tomu, že spojitá náhodná proměnná je definována přes kontinuální rozsah hodnot (tzv. domény proměnné), bude graf funkce hustoty kontinuální v tomto rozsahu.
• Oblast ohraničená křivkou funkce hustoty a na ose x je rovna 1.
• Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnoty mezi a a, b se rovná oblasti pod funkcí hustoty ohraničené a a b .

Příklady diskrétních rozdělení

Binomické rozdělení

Veličina s binomickým rozdělením je součtem nezávislých veličin s rozdělením alternativním, parametry tohoto rozdělení jsou tedy jednak "p" a poté ještě počet pokusů "n". Toto rozdělení se typicky značí jako Bi(n,p). Pravděpodobnostní funkce vypadá takto:

kde x může nabývat hodnot 0, 1, 2 až n.

Příklad: Počet šestek při hodu 3 kostkami. Například pravděpodobnost, že padne jedna šestka je: