Repeated games/cs - Revision history

Xdynl00: Vytvoření referencí na ostatní pojmy na této WIKI

2012-06-20T22:59:08Z

Vytvoření referencí na ostatní pojmy na této WIKI

Show changes

Xdynl00: /* Závěr a odkazy na výzkumy týkající se aplikací teorie her v reálném světě */

2012-06-20T21:58:33Z

‎Závěr a odkazy na výzkumy týkající se aplikací teorie her v reálném světě

Xdynl00: /* Zdroje */

2012-06-20T21:57:04Z

‎Zdroje

Xdynl00: /* Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu */

2012-06-20T21:56:50Z

‎Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu

Xdynl00 at 21:53, 20 June 2012

2012-06-20T21:53:11Z

Show changes

Xdynl00 at 21:14, 20 June 2012

2012-06-20T21:14:43Z

Xdynl00: /* Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu */

2012-06-20T21:03:49Z

‎Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu

Xdynl00: /* Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu */

2012-06-20T21:02:20Z

‎Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu

Xdynl00 at 21:00, 20 June 2012

2012-06-20T21:00:26Z

Xdynl00 at 20:47, 20 June 2012

2012-06-20T20:47:58Z

@@ Line 192: / Line 192: @@
 Shrnutí významných prací zabývajících se aplikací teorie opakovaných her v reálném světě představuje Martin J. Osborne ve své knize “An introduction to Game Theory” <ref name="osbornenew" />. Z první části jeho shrnutí vyplává, že mnoho simulací vyhrála strategie “Oko za oko, zub za zub” (Tit-for-tat). Konkrétní zprávy je možné přečíst v:<ref name="Axelrod1980a" /><ref name="Axelrod1980b" /><ref name="Axelrod1984" />
-S teorií, že zvířata opakovaně čelí problémům svou strukturou podobným vězňově dilematu přišel Robert L. Trivers v roce 1971 <ref name="Trivers" />. Při pokusu provedeným s rybami (konkrétně koljuškami), pozoroval, že ty také využívají strategie Tit-for-tat. Výsledky této studie se později pokouší vyvrátit Lazarus a Metcalfe (1990) <ref name="Lazarus" /> a Milinski (1993) <ref name="Milinski" />, který tvrdí, že koljušky nenásledují strategii “Oko za oko, zub za zub”, nýbrž strategii zvanou “Pavlov”.
+S teorií, že zvířata opakovaně čelí problémům svou strukturou podobným vězňově dilematu přišel Robert L. Trivers v roce 1971 <ref name="Trivers" />. Při pokusu provedeným s rybami (konkrétně koljuškami), pozoroval, že ty také využívají strategie Tit-for-tat. Výsledky této studie se později pokouší vyvrátit Lazarus a Metcalfe (1990) <ref name="Lazarus" /> a Milinski (1993) <ref name="Milinski" />, který tvrdí, že koljušky nenásledují strategii “Oko za oko, zub za zub”, nýbrž strategii zvanou [[Pavlov Game Strategy/cs |"Pavlov"]].
 Z novějších studií jmenujme např. Mason, Phillips a Redington (1991) <ref name="Mason" />, kteří zjišťovali, zda mají ženy větší tendenci ke kooperaci než muži; či Sabater, Grande a Georgantiziz (2002) <ref name="Sabater" />, kteří se věnovali vlivu averze k riziku na pravděpodobnost, že daný subjekt bude kooperovat.

@@ Line 286: / Line 286: @@
 <ref name="Trivers">Trivers, R. L. (1971), “The evolution of reciprocal altruism”, Quarterly Reviewof Biology 46, str. 35–57.</ref>
 <ref name="Lazarus">Lazarus, J., Metcalfe, N. B. (1990), "Tit-for-tat cooperation in sticklebacks: a critique of Milinski”, Animal Behaviour 39, str. 987–988.</ref>
 <ref name="Milinski">Milinski, Manfred (1993), "Cooperation wins and stays”, Nature 364, str. 12–13.</ref>

@@ Line 257: / Line 257: @@
 Dosazením hodnot z matice do vzorečku z kapitoly Nekonečně opakované hry získáme:
-<math>OV_{spoluprace} = \frac{5}{1 – P}</math>
+<math>OV_{spoluprace} = \frac{5}{1-5}</math>
-<math>OV_{nespoluprace} = 10 + \frac{2P}{1 – P}</math>
+<math>OV_{nespoluprace} = 10 + \frac{2P}{1-P}</math>
 Oba podniky by tedy měly spolupracovat vždy, když dojde ke splnění podmínky:
-<math>\frac{5}{1 – P} > 10 + \frac{2P}{1 – P}</math>
+<math>\frac{5}{1-P} > 10 + \frac{2P}{1-P}</math>
 neboli
-<math>\frac{5-10}{2 – 10} < P</math>
+<math>\frac{5-10}{2-10} < P</math>
 Pokud tedy <math>P</math> dosahuje hodnoty vyšší než <math>\frac{5}{8}</math>, je pro dva podniky dodržující Grim trigger strategii racionálním řešením spolupracovat. Kritická hodnota <math>P^*</math> je tedy <math>\frac{5}{8}</math>.

@@ Line 4: / Line 4: @@
 *'''předmět:''' 4IT495 Simulace systémů
-Opakované hry jsou součástí mnohem širší problematiky nazývané jako teorie her. Nenechme se ovšem zmýlit - s hraním her mají jen pramálo společného. Pro pochopení opakovaných her je nezbytné osvojit si znalosti her jednorázových (statických).
+Opakované hry jsou součástí mnohem širší problematiky nazývané jako [[Game theory/cs |teorie her]]. Nenechme se ovšem zmýlit - s hraním her mají jen pramálo společného. Pro pochopení opakovaných her je nezbytné osvojit si znalosti [[One-shot game/cs |her jednorázových (statických)]].
 =Úvod=
-Opakované hry jsou takové hry, při kterých je jednorázová či vícekolová hra stejnými hráči řešena opakovaně. Tito hráči mají přístup k výsledkům předcházejících her a mají možnost rozvrhnout si své tahy dopředu. Vzniká zde tedy široký prostor pro plánování všemožných strategií, které mohou nejen reagovat na tahy soupeře (učení se), ale hráč má zároveň možnost vytvářet strategie, kterými může svého soka přelstít a maximalizovat tak svou výplatu (užitek). V kapitole se budeme zabývat jevy jako jsou kooperace, výhružky či odplata.
+Opakované hry jsou takové [[Games/cs |hry]], při kterých je [[One-shot game/cs |jednorázová]] či vícekolová hra stejnými [[Player/cs |hráči]] řešena opakovaně. Tito hráči mají přístup k výsledkům předcházejících her a mají možnost rozvrhnout si své tahy dopředu. Vzniká zde tedy široký prostor pro plánování všemožných [[Strategy/cs |strategií]], které mohou nejen reagovat na tahy soupeře ([[Learning/cs |učení se]]), ale hráč má zároveň možnost vytvářet strategie, kterými může svého soka přelstít a maximalizovat tak svou [[Utility/cs |výplatu (užitek)]]. V kapitole se budeme zabývat jevy jako jsou [[Cooperation in game theory/cs |kooperace]], [[Threats in game theory/cs |výhružky]] či [[Revenge in game theory/cs |odplata]].
-Opakované hry mají tedy mnohem blíže k fungování reálného světa tak, jak ho známe, kde spolu jednotlivé strany často soupeří více než jen jednou. Každá ze stran si je přitom vědoma vlivu svého rozhodnutí na chování svého protihráče.
+Opakované hry mají tedy mnohem blíže k fungování [[Real world/cs |reálného světa]] tak, jak ho známe, kde spolu jednotlivé strany často soupeří více než jen jednou. Každá ze stran si je přitom vědoma vlivu svého rozhodnutí na chování svého protihráče.
 =Plán=
-Každý hráč musí mít předem stanovený plán hry, který bude jasně definovat, jak se zachová v konkrétních situacích, jež mohou během hry nastat. Tyto strategie se nazývají meta-strategie. Aby byla strategie rovnovážná, musí být nejlepší odpovědí na všechny možné tahy ostatních hráčů ve hře.
+Každý hráč musí mít předem stanovený [[Meta strategy/cs |plán hry]], který bude jasně definovat, jak se zachová v konkrétních situacích, jež mohou během hry nastat. Tyto strategie se nazývají [[Meta strategy/cs |meta-strategie]]. Aby byla strategie [[Equilibrium strategy/cs |rovnovážná]], musí být nejlepší odpovědí na všechny možné tahy ostatních hráčů ve hře.
-Pozorovateli takové hry by mohlo připadat, že hráči v opakované hře v jednotlivých kolech nemaximalizují svůj užitek, tedy že jednají iracionálně. To je důsledkem toho, že maximalizace vlastního užitku v jednom kole nutně nemusí vést k maximalizaci užitku v dlouhodobém horizontu.
+Pozorovateli takové hry by mohlo připadat, že hráči v opakované hře v jednotlivých kolech [[Utility maximalization/cs |nemaximalizují svůj užitek]], tedy že jednají [[Irataional behavior/cs |iracionálně]]. To je důsledkem toho, že maximalizace vlastního užitku v jednom kole nutně nemusí vést k maximalizaci užitku v [[Long-term horizon/cs |dlouhodobém horizontu]].
 =Základní dělení=

@@ Line 265: / Line 265: @@
 == Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu==
 Dosazením hodnot z matice do vzorečku z kapitoly Nekonečně opakované hry získáme:
 <math>OV_{spoluprace} = \frac{5}{1 – P}</math>
 <math>OV_{nespoluprace} = 10 + \frac{2P}{1 – P}</math>
 Oba podniky by tedy měly spolupracovat vždy, když dojde ke splnění podmínky:
 <math>\frac{5}{1 – P} > 10 + \frac{2P}{1 – P}</math>
 neboli
 <math>\frac{5-10}{2 – 10} < P</math>

@@ Line 152: / Line 152: @@
 Očekávaný výnos ze spolupráce vypočítáme jako:
-Nahrazením 1/(1+r) diskontním faktorem <math>F</math> získáme:
+Nahrazením \frac{1}{1-r} diskontním faktorem <math>F</math> získáme:
 Při porušení spolupráce získáváme obdobné:
 Je tedy zřejmé, že jediný rozdíl mezi nekonečně opakovanými hrami a hrami s konečným opakováním s neznámým koncem je záměna pravděpodobnosti dalšího pokračování hry, <math>P</math>, s diskontním faktorem <math>F</math>, <math>F \in (0,1)</math>.
 O tom, zda pokračovat ve spolupráci nebo se od ní odchýlit pak tedy opět rozhoduje výsledná výplata obou možnosti, nebo-li:
 Pokud je tedy <math>F</math> dostatečně vysoké (budoucí hodnota peněz se nule blíží jen velice pomalu), mají oba hráči zájem na tom spolupracovat. Můžeme tedy opět říci, že v takovém případě existuje ve vězňově dilematu takové SPNE, které vede u Grim Trigger strategie ke spolupráci.
@@ Line 250: / Line 265: @@
 == Řešení příkladu 2: Otevření trhu v nedohlednu==
 Dosazením hodnot z matice do vzorečku z kapitoly Nekonečně opakované hry získáme:
-<math>OV_{spoluprace}</math> = 5/(1 – P)
+<math>OV_{spoluprace} = 5/(1 – P)</math>
-<math>OV_{nespoluprace}</math> = 10 + 2P/(1 – P)
+<math>OV_{nespoluprace} = 10 + 2P/(1 – P)</math>
 Oba podniky by tedy měly spolupracovat vždy, když dojde ke splnění podmínky:
-/(1 – P) > 10 + 2 P /(1 – P)
+<math>\frac{5}{1 – P} > 10 + \frac{2P}{1 – P}</math>
 neboli
-(5 – 10)/(2 – 10) < P
+<math>\frac{5-10}{2 – 10} < P</math>
-Pokud tedy <math>P</math> dosahuje hodnoty vyšší než 5/8, je pro dva podniky dodržující Grim trigger strategii racionálním řešením spolupracovat. Kritická hodnota P* je tedy 5/8.
+Pokud tedy <math>P</math> dosahuje hodnoty vyšší než <math>\frac{5}{8}</math>, je pro dva podniky dodržující Grim trigger strategii racionálním řešením spolupracovat. Kritická hodnota <math>P^*</math> je tedy <math>\frac{5}{8}</math>.
 =Zdroje=

@@ Line 93: / Line 93: @@
 <math>OV_{nespoluprace} = 4 + P + P^2 + P^3 + P^4 + ... P^n = 4 + \sum_{n=0}^{n = \infty} P^n = 4 + \frac{P}{1 - P} </math>
-Z výše uvedeného jasně vyplývá, že má-li se Petr držet spolupráce, musí pro něj být výhodnější než její porušení. V našem případě musí být konkrétně P, tedy pravděpodobnost dalšího pokračování hry, vyšši než 1/3.
+Z výše uvedeného jasně vyplývá, že má-li se Petr držet spolupráce, musí pro něj být výhodnější než její porušení. V našem případě musí být konkrétně <math>P</math>, tedy pravděpodobnost dalšího pokračování hry, vyšši než \frac{1}{3}.
-[POSTUP VÝPOČTU 1/3]
+<math>\frac{3}{1-P} > 4 + \frac{1P}{1-P}</math>
 Abychom byli schopni toto aplikovat na jakýkoliv příklad, vytvořili jsme následující obecnou matici:
@@ Line 112: / Line 118: @@
 |}
-přičemž platí, že c>a>d>b
+přičemž platí, že <math>c > a > d > b</math>
-Pravděpodobnost, že hra bude pokračovat i dalším kolem je stále P. Oba hráči se i nadále drží strategie Grim trigger. Pokud oba hráči kooperují, mohou až do konce hry očekávat výplatu v podobě "a". <math>OV_{spoluprace}</math> je tedy:
+Pravděpodobnost, že hra bude pokračovat i dalším kolem je stále <math>P</math>. Oba hráči se i nadále drží strategie Grim trigger. Pokud oba hráči kooperují, mohou až do konce hry očekávat výplatu v podobě "a". <math>OV_{spoluprace}</math> je tedy:
+<math>OV_{spoluprace} = a + aP + aP^2 + aP^3 + aP^4 + ... aP^n = \sum_{n=0}^{n = \infty} aP^n = \frac{a}{1 - P} </math>
 Pokud kdokoliv z hráčů přestane spolupracovat, získá jednorázový zisk ve výši "c" a dále už jen "d". <math>OV_{nespoluprace}</math> je tedy:
-−
 Jestliže mají oba hráči spolupracovat, je nutné, aby <math>OV_{spoluprace}</math> bylo vyšší než <math>OV_{nespoluprace}</math>, tedy:
- (8.6)
+<math>
-Nyní můžeme stanovit hraniční hodnotu P, P*, u které platí, že je-li P>(a-c/d-c) = P*, nemá ani jeden z hráčů potřebu odchýlit se od spolupráce a ke spolupráci tak dojde ve všech opakováních hry [4]. Můžeme tedy říci, že pokud je hodnota <math>P</math> dostatečně vysoká, existuje ve vězňově dilematu takové SPNE, které vede u Grim Trigger strategie ke spolupráci.
+Tato podmínka je platná pro všechny hry vězňova dilematu. [4]
-Podmínka (8.6) je platná pro všechny hry vězňova dilematu. [4]
+Nyní můžeme stanovit hraniční hodnotu <math>P</math>, <math>P^*</math>, u které platí, že je-li <math>P >\frac{a-c}{d-c} = P^*</math>, nemá ani jeden z hráčů potřebu odchýlit se od spolupráce a ke spolupráci tak dojde ve všech opakováních hry [4]. Můžeme tedy říci, že pokud je hodnota <math>P</math> dostatečně vysoká, existuje ve vězňově dilematu takové SPNE, které vede u Grim Trigger strategie ke spolupráci.
 ==Nekonečně opakované hry==
-V případě nekonečně opakovaných her je jasné, že, jak už z názvu vyplývá, není možné počítat s pravděpodobností P, která nám v sekci výše určovala pravděpodobnost, že se hra dostane do dalšího kola. Hráči totiž vždy věří, že hra bude pokračovat.
+V případě nekonečně opakovaných her je jasné, že, jak už z názvu vyplývá, není možné počítat s pravděpodobností <math>P</math>, která nám v sekci výše určovala pravděpodobnost, že se hra dostane do dalšího kola. Hráči totiž vždy věří, že hra bude pokračovat.
 Aby však mohli plánovat své budoucí výplaty, musí začít uvažovat diskontovanou současnou hodnotu budoucích výplat. Současná hodnota budoucí výplaty "X" získané za "n" období se spočítá jako jako X/(1+r)n, přičemž "r" označuje úrokovou míru a 1/(1+r) je diskontní faktor. Každý si nyní jistě vzpomíná na hodiny ekonomie, kde nám bylo do hlavy vtloukáno, že hodnota peněz získaných nyní je vyšší než hodnota toho samého objemu peněz získaných v budoucnu. A nyní toto pravidlo aplikujeme i u teorie her.
@@ Line 141: / Line 158: @@
-Je tedy zřejmé, že jediný rozdíl mezi nekonečně opakovanými hrami a hrami s konečným opakováním s neznámým koncem je záměna pravděpodobnosti dalšího pokračování hry, P, s diskontním faktorem <math>F</math>, <math>F \in (0,1)</math>.
+Je tedy zřejmé, že jediný rozdíl mezi nekonečně opakovanými hrami a hrami s konečným opakováním s neznámým koncem je záměna pravděpodobnosti dalšího pokračování hry, <math>P</math>, s diskontním faktorem <math>F</math>, <math>F \in (0,1)</math>.
 O tom, zda pokračovat ve spolupráci nebo se od ní odchýlit pak tedy opět rozhoduje výsledná výplata obou možnosti, nebo-li: