Nash equilibrium/cs - Revision history

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

2012-06-20T21:43:16Z

‎Příklad 3: Smíšené strategie

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

2012-06-20T21:03:41Z

‎Příklad 3: Smíšené strategie

Xbarr10: /* Definice */

2012-06-20T20:48:35Z

‎Definice

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

2012-06-20T20:42:48Z

‎Příklad 3: Smíšené strategie

Xbarr10: /* Vlastnosti Nashovy rovnováhy */

2012-06-20T20:41:53Z

‎Vlastnosti Nashovy rovnováhy

Xbarr10: /* Definice */

2012-06-20T20:41:15Z

‎Definice

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

2012-06-20T02:07:10Z

‎Otázky a příklady k procvičení

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

2012-06-20T02:06:49Z

‎Otázky a příklady k procvičení

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

2012-06-20T01:51:50Z

‎Otázky a příklady k procvičení

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

2012-06-20T01:44:37Z

‎Otázky a příklady k procvičení

@@ Line 234: / Line 234: @@
 <math>q_j \ge 0</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>j=1,2,...n</math>
-Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
+Po vyřešení úlohy (například v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010: [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx|(řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]]) dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
 [[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
 Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

@@ Line 179: / Line 179: @@
 ;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
-Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
+Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, …). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
 {| class="wikitable"
 |-

@@ Line 3: / Line 3: @@
 =Definice=
-''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>
+''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>
 == Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
@@ Line 11: / Line 11: @@
 * Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
 * Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
-* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>
+* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>Nash, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>
 =Řešené příklady=

@@ Line 122: / Line 122: @@
 | [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
 |-
-| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.
+| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, prakticky nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.
 M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

@@ Line 10: / Line 10: @@
 * Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
 * Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
-* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
+* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
 * Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

@@ Line 337: / Line 337: @@
 <ol start="6">
 <li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
 </ol>

@@ Line 275: / Line 275: @@
 |- style="text-align: center"
 ! scope="row" | a
 | 8
 | 0
 |- style="text-align: center"
 ! scope="row" | b
-| 3
+| 99
-| 10
+| 0
 | 1
 |- style="text-align: center"
 ! scope="row" | c
 | -2
 | 4
-| -7
+| -2
 |}
 =Reference=

@@ Line 244: / Line 244: @@
 #Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
 #Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
 =Reference=

@@ Line 242: / Line 242: @@
 # Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?<br>&nbsp;&nbsp;a. žádné<br>&nbsp;&nbsp;b. 0 - počet prvků<br>&nbsp;&nbsp;c. pouze 1<br>&nbsp;&nbsp;d. 1 - počet prvků
 #Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
-#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|třetího příkladu]] nezmění.
+#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
 #Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry: